En la teoría de la probabilidad y campos relacionados, un proceso estocástico ( / s t oʊ ˈ k æ s t ɪ k / ) o aleatorio es un objeto matemático generalmente definido como una familia de variables aleatorias . Los procesos estocásticos se utilizan ampliamente como modelos matemáticos de sistemas y fenómenos que parecen variar de manera aleatoria. Los ejemplos incluyen el crecimiento de una población bacteriana , una corriente eléctrica que fluctúa debido al ruido térmico, o el movimiento de una molécula de gas . [1] [4] [5] Los procesos estocásticos tienen aplicaciones en muchas disciplinas como biología , [6] química , [7] ecología , [8] neurociencia , [9] física , [10] procesamiento de imágenes, procesamiento de señales , [ 11] teoría de control , [12] teoría de la información , [13] informática , [14] criptografía [15] y telecomunicaciones . [16] Además, los cambios aparentemente aleatorios en los mercados financieros han motivado el uso extensivo de procesos estocásticos en las finanzas . [17] [18] [19]
Las aplicaciones y el estudio de los fenómenos han inspirado a su vez la propuesta de nuevos procesos estocásticos. Los ejemplos de tales procesos estocásticos incluyen el proceso de Wiener o el proceso de movimiento browniano, [a] utilizado por Louis Bachelier para estudiar los cambios de precios en la Bolsa de París , [22] y el proceso de Poisson , utilizado por AK Erlang para estudiar el número de llamadas telefónicas que se producen. en un cierto periodo de tiempo. [23] Estos dos procesos estocásticos se consideran los más importantes y centrales en la teoría de los procesos estocásticos, [1] [4] [24]y fueron descubiertos repetida e independientemente, tanto antes como después de Bachelier y Erlang, en diferentes escenarios y países. [22] [25]
El término función aleatoria también se usa para referirse a un proceso estocástico o aleatorio, [26] [27] porque un proceso estocástico también puede interpretarse como un elemento aleatorio en un espacio funcional . [28] [29] Los términos proceso estocástico y proceso aleatorio se usan indistintamente, a menudo sin un espacio matemático específico para el conjunto que indexa las variables aleatorias. [28] [30] Pero a menudo estos dos términos se utilizan cuando las variables aleatorias están indexadas por los números enteros o un intervalo de la línea real . [5] [30]Si las variables aleatorias están indexadas por el plano cartesiano o algún espacio euclidiano de mayor dimensión , entonces la colección de variables aleatorias generalmente se denomina campo aleatorio . [5] [31] Los valores de un proceso estocástico no siempre son números y pueden ser vectores u otros objetos matemáticos. [5] [29]
Según sus propiedades matemáticas, los procesos estocásticos se pueden agrupar en varias categorías, que incluyen paseos aleatorios , [32] martingalas , [33] procesos de Markov , [34] procesos de Lévy , [35] procesos gaussianos , [36] campos aleatorios, [ 37] procesos de renovación y procesos de ramificación . [38] El estudio de los procesos estocásticos utiliza conocimientos matemáticos y técnicas de probabilidad , cálculo , álgebra lineal , teoría de conjuntos y topología .[39] [40] [41] así como ramas del análisis matemático como el análisis real , la teoría de la medida , el análisis de Fourier y el análisis funcional . [42] [43] [44] La teoría de los procesos estocásticos se considera una contribución importante a las matemáticas [45] y continúa siendo un tema activo de investigación tanto por razones teóricas como por aplicaciones. [46] [47] [48]