Función Heun

En matemáticas , la función local de Heun H⁢ℓ (a, q; α, β, γ, δ; z) ( Karl LW Heun  1889 ) es la solución de la ecuación diferencial de Heun que es holomórfica y 1 en el punto singular z  = 0 La función de Heun local se llama función de Heun , denotada Hf , si también es regular en z  = 1, y se llama polinomio de Heun , denotado Hp , si es regular en los tres puntos singulares finitos  z  = 0, 1,  a .

Ecuación de Heun

La ecuación de Heun es una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO) de segundo orden de la forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.}$

La condición ${\displaystyle \epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1}$ es necesario para garantizar la regularidad del punto en ∞.

El número complejo q se denomina parámetro accesorio . La ecuación de Heun tiene cuatro puntos regulares singulares : 0, 1,  una y ∞ con exponentes (0, 1 - gamma), (0, 1 - delta), (0, 1 - varepsilon), y (α, β). Cada EDO lineal de segundo orden en el plano complejo extendido con un máximo de cuatro puntos singulares regulares, como la ecuación de Lamé o la ecuación diferencial hipergeométrica , se puede transformar en esta ecuación mediante un cambio de variable.

La fusión de varias singularidades regulares de la ecuación de Heun en singularidades irregulares da lugar a varias formas confluentes de la ecuación, como se muestra en la siguiente tabla.

Formas de la ecuación de Heun ^[1]

Formulario	Singularidades	Ecuación
General	0, 1, a , ∞	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0}$
Confluente	0, 1, ∞ (irregular, rango 1)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+\epsilon \right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z(z-1)}}w=0}$
Doblemente confluente	0 (irregular, rango 1), ∞ (irregular, rango 1)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\delta }{z^{2}}}+{\frac {\gamma }{z}}+1\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z^{2}}}w=0}$
Biconfluente	0, ∞ (irregular, rango 2)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}-\left[{\frac {\gamma }{z}}+\delta +z\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z}}w=0}$
Triconfluente	∞ (irregular, rango 3)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(\gamma +z\right)z{\frac {dw}{dz}}+\left(\alpha z-q\right)w=0}$

q-analógico

El análogo q de la ecuación de Heun ha sido descubierto por Hahn  ( 1971 ) y estudiado por Takemura (2017) .

Simetrías

La ecuación de Heun tiene un grupo de simetrías de orden 192, isomorfo al grupo de Coxeter del diagrama de Coxeter D ₄ , análogo a las 24 simetrías de las ecuaciones diferenciales hipergeométricas obtenidas por Kummer. Las simetrías que fijan la función de Heun local forman un grupo de orden 24 isomorfo al grupo simétrico en 4 puntos, por lo que hay 192/24 = 8 = 2 × 4 soluciones esencialmente diferentes dadas al actuar sobre la función de Heun local por estas simetrías, que dar soluciones para cada uno de los 2 exponentes para cada uno de los 4 puntos singulares. La lista completa de 192 simetrías fue proporcionada por Maier (2007)utilizando el cálculo de la máquina. Varios intentos anteriores de varios autores de enumerarlos a mano contenían muchos errores y omisiones; por ejemplo, la mayoría de las 48 soluciones locales enumeradas por Heun contienen errores graves.

Ver también

• Polinomios de Heine-Stieltjes , una generalización de polinomios de Heun.

Referencias

1. DLMF §31.12 Formas confluentes de la ecuación de Heun [1]

• A. Erdélyi, F. Oberhettinger, W. Magnus y F. Tricomi Funciones trascendentales superiores vol. 3 (McGraw Hill, Nueva York, 1953).
• Forsyth, Andrew Russell (1959) [1906], Teoría de ecuaciones diferenciales. 4. Ecuaciones lineales ordinarias , Nueva York: Publicaciones de Dover , p. 158, MR  0123757
• Heun, Karl (1889), "Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten" , Mathematische Annalen , 33 (2): 161, doi : 10.1007 / bf01443849 , S2CID  120008459
• Maier, Robert S. (2007), "Las 192 soluciones de la ecuación de Heun", Mathematics of Computation , 76 (258): 811–843, arXiv : math / 0408317 , Bibcode : 2007MaCom..76..811M , doi : 10.1090 / S0025-5718-06-01939-9 , MR  2.291.838 , S2CID  749861
• Ronveaux, A., ed. (1995), ecuaciones diferenciales de Heun , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859695-0, Señor  1392976
• Sleeman, BD; Kuznetzov, VB (2010), "Funciones de Heun" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Valent, Galliano (2007), "Funciones de Heun versus funciones elípticas", Ecuaciones en diferencia, funciones especiales y polinomios ortogonales , World Sci. Publ., Hackensack, Nueva Jersey, págs. 664–686, arXiv : math-ph / 0512006 , doi : 10.1142 / 9789812770752_0057 , ISBN 978-981-270-643-0, MR  2451210 , S2CID  8520520
• Hahn W. (1971) Sobre ecuaciones en diferencias geométricas lineales con parámetros accesorios. Funccial. Ekvac., 14, 73–78
• Takemura, K. (2017), "Degeneraciones del operador Ruijsenaars-van Diejen y ecuaciones q-Painlevé", Journal of Integrable Systems , 2 (1), arXiv : 1608.07265 , doi : 10.1093 / integr / xyx008.