Esquema de alta resolución

Esquema utilizado en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales

Esquema típico de alta resolución basado en la reconstrucción de MUSCL.

Los esquemas de alta resolución se utilizan en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales donde se requiere alta precisión en presencia de choques o discontinuidades. Tienen las siguientes propiedades:

• La precisión espacial de segundo o mayor orden se obtiene en partes suaves de la solución.
• Las soluciones están libres de oscilaciones o meneos espúreos.
• Se obtiene una alta precisión alrededor de los choques y las discontinuidades.
• El número de puntos de malla que contienen la onda es pequeño en comparación con un esquema de primer orden con una precisión similar.

Los métodos generales a menudo no son adecuados para la resolución precisa de fenómenos de gradientes pronunciados; por lo general, introducen efectos no físicos, como manchas de la solución u oscilaciones falsas . Desde la publicación del teorema de la barrera del orden de Godunov , que demostró que los métodos lineales no pueden proporcionar soluciones no oscilatorias superiores al primer orden (Godunov 1954, Godunov 1959), estas dificultades han atraído mucha atención y se han desarrollado varias técnicas que superan en gran medida estos problemas. . Para evitar oscilaciones espurias o no físicas donde hay choques, los esquemas que exhiben una variación total decreciente(TVD) son especialmente atractivas. Dos técnicas que están demostrando ser particularmente efectivas son MUSCL ( Monotone Upstream-Centered Schemes for Conservation Laws ), un método limitador de flujo / pendiente (van Leer 1979, Hirsch 1990, Tannehill 1997, Laney 1998, Toro 1999) y WENO ( Weighted Método esencialmente no oscilatorio ) (Shu 1998, Shu 2009). Ambos métodos suelen denominarse esquemas de alta resolución (ver diagrama).

Los métodos MUSCL son generalmente precisos de segundo orden en regiones suaves (aunque pueden formularse para órdenes superiores) y proporcionan soluciones monotónicas de buena resolución alrededor de las discontinuidades. Son fáciles de implementar y computacionalmente eficientes.

Para problemas que comprenden tanto choques como una estructura compleja de solución suave, los esquemas WENO pueden proporcionar una mayor precisión que los esquemas de segundo orden junto con una buena resolución alrededor de las discontinuidades. La mayoría de las aplicaciones tienden a utilizar un esquema WENO preciso de quinto orden, mientras que los esquemas de orden superior pueden usarse cuando el problema exige una precisión mejorada en regiones suaves.

El método de discretización holística analiza sistemáticamente la dinámica de la escala de subcuadrícula para construir algebraicamente cierres para discretizaciones numéricas que sean precisas a cualquier orden de error especificado en regiones suaves y se adapten automáticamente para atender variaciones rápidas de cuadrícula a través del aprendizaje algebraico de estructuras de subcuadrícula (Roberts 2003 ). Un servicio web analiza cualquier PDE de una clase que pueda presentarse .

Ver también

• Teorema de Godunov
• Sergei K. Godunov
• Disminución de la variación total
• Método de captura de impactos

Referencias

• Godunov, Sergei K. (1954), Ph.D. Disertación: Diferentes métodos para ondas de choque , Universidad Estatal de Moscú.
• Godunov, Sergei K. (1959). "Un esquema de diferencias para la solución numérica de la solución discontinua de ecuaciones hidrodinámicas". Estera. Sbornik . 47 : 271-306.traducción de la publicación conjunta de EE. UU. Res. Servicio, JPRS 7226, 1969.
• Harten, A. (1983). "Esquemas de alta resolución para leyes de conservación hiperbólica". J. Comput. Phys . 49 (3): 357–393. doi : 10.1016 / 0021-9991 (83) 90136-5 . hdl : 2060/19830002586 .
• Hirsch, Charles (1991). Métodos computacionales para flujos viscosos e invisibles . Cálculo numérico de flujos internos y externos. 2 . Wiley. ISBN 978-0-471-92452-4.
• Laney, Culbert B. (1998). Gasdinámica computacional . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-39360-8.
• Roberts, AJ (2003). "Un enfoque holístico de diferencias finitas modela la dinámica lineal de forma coherente". Matemáticas de la Computación . 72 (241): 247–262. arXiv : matemáticas / 0003135 . doi : 10.1090 / S0025-5718-02-01448-5 .
• Shu, CW. (1998). "Esquemas no oscilatorios esenciales esencialmente no oscilatorios y ponderados para las leyes de conservación hiperbólica. En: Cockburn". En Quarteroni, Alfio (ed.). Aproximación numérica avanzada de ecuaciones hiperbólicas no lineales . Apuntes de clase en matemáticas. 1697 . Saltador. págs. 325–432. doi : 10.1007 / BFb0096355 . hdl : 2060/19980007543 . ISBN 978-3-540-49804-9.
• Shu, CW. (2009). "Esquemas esencialmente no oscilatorios ponderados de orden alto para problemas dominados por convección". Revisión SIAM . 51 (1): 82-126. doi : 10.1137 / 070679065 .
• Anderson, Dale; Tannehill, John C .; Pletcher, Richard H. (2016). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (3ª ed.). Taylor y Francis. ISBN 978-1-4665-7830-2.
• Eleuterio F. Toro (2013). Solvers de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos: una introducción práctica (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-662-03915-1. Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
• Van Leer, B. (1979). "Hacia el último esquema de diferencia conservadora V. Una secuela de segundo orden del método de Godunov". J. Comput. Phys . 32 (1): 101-136. doi : 10.1016 / 0021-9991 (79) 90145-1 .