En la dinámica de fluidos computacional , el esquema TVD se emplea para capturar predicciones de choque más nítidas sin oscilaciones engañosas cuando la variación de la variable de campo "”Es discontinua. Para capturar la variación, cuadrículas finas (muy pequeños) son necesarios y el cálculo se vuelve pesado y, por lo tanto, antieconómico. El uso de cuadrículas gruesas con esquema de diferencia central , esquema de ceñida , esquema de diferencia híbrida y esquema de ley de potencia proporciona predicciones de choque falsas. El esquema TVD permite predicciones de choque más nítidas en cuadrículas gruesas, lo que ahorra tiempo de cálculo y, dado que el esquema conserva la monotonicidad, no hay oscilaciones espúreas en la solución.
Discretización
Considere la ecuación de difusión por convección unidimensional en estado estacionario,
,
dónde es la densidad, es el vector de velocidad, es la propiedad que se transporta, es el coeficiente de difusión y es el término fuente responsable de la generación de la propiedad .
Haciendo el balance de flujo de esta propiedad sobre un volumen de control que obtenemos,
Aquí es lo normal a la superficie del volumen de control.
Ignorando el término fuente, la ecuación se reduce aún más a:
Una imagen que muestra el volumen de control con velocidades en las caras, nodos y la distancia entre ellos, donde 'P' es el nodo en el centro.
Asumiendo
y
La ecuación se reduce a
Decir,
De la figura:
La ecuación se convierte en,
Además, la ecuación de continuidad debe satisfacerse en una de sus formas equivalentes para este problema:
Suponiendo que la difusividad es una propiedad homogénea y un espaciado de cuadrícula igual, podemos decir
El esquema de disminución de la variación total [2] [3] hace una suposición para los valores de y para ser sustituido en la ecuación discretizada de la siguiente manera:
Dónde es el número de Péclet y es la función de pesaje a determinar a partir de,
dónde se refiere a aguas arriba, se refiere a aguas arriba de y se refiere a aguas abajo.
Tenga en cuenta que es la función de pesaje cuando el flujo está en dirección positiva (es decir, de izquierda a derecha) y es la función de pesaje cuando el flujo está en dirección negativa de derecha a izquierda. Entonces,
Si el flujo es en dirección positiva entonces, número de Péclet es positivo y el término , entonces la función no jugará ningún papel en la asunción de y . Del mismo modo, cuando el flujo está en dirección negativa, es negativo y el término , entonces la función no jugará ningún papel en la asunción de y .
Por tanto, se tienen en cuenta los valores de propiedad en función de la dirección del flujo y utilizando las funciones ponderadas se intenta conseguir la monotonicidad en la solución produciendo resultados sin perturbaciones espúreas.
Limitaciones
Los esquemas monótonos son atractivos para resolver problemas científicos y de ingeniería porque no producen soluciones no físicas. El teorema de Godunov prueba que los esquemas lineales que preservan la monotonicidad son, como mucho, sólo precisos de primer orden. Los esquemas lineales de orden superior, aunque son más precisos para soluciones suaves, no son TVD y tienden a introducir oscilaciones espúreas (meneos) donde surgen discontinuidades o choques. Para superar estos inconvenientes, vario de alta resolución , no lineales se han desarrollado técnicas, a menudo utilizando limitadores de flujo / pendiente .
^Versteeg, HK; Malalasekera, W. (2007). Una introducción a la dinámica de fluidos computacional: el método de volumen finito (2ª ed.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.
^Blazek, Jiri (2001). Dinámica de fluidos computacional: principios y aplicaciones (1ª ed.). Londres: Elsevier. ISBN 9780080430096.
Otras lecturas
Hirsch, C. (1990), Computación numérica de flujos internos y externos , Vol 2, Wiley.
Laney, CB (1998), Dinámica computacional de gases , Cambridge University Press.
Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer-Verlag.
Tannehill, JC, Anderson, DA y Pletcher, RH (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor , 2ª ed., Taylor & Francis.
Wesseling, P. (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag.
Anil W. Date Introducción a la dinámica de fluidos computacional , Cambridge University Press.