En la teoría de grupos , el teorema de incrustación de Higman establece que cada grupo R presentado de forma recursiva finitamente generado puede incrustarse como un subgrupo de algún grupo G presentado de forma finita . Este es el resultado de Graham Higman de la década de 1960. [1]
Por otro lado, es un teorema sencillo que cada subgrupo generado de forma finita de un grupo presentado de forma finita se presenta de forma recursiva, por lo que los grupos generados de forma finita presentados de forma recursiva son (hasta el isomorfismo) exactamente los subgrupos generados de forma finita de los grupos de presentación finita.
Dado que cada grupo contable es un subgrupo de un grupo generado finitamente, el teorema se puede reformular para esos grupos.
Como corolario , existe un grupo universal presentado de forma finita que contiene todos los grupos presentados de forma finita como subgrupos (hasta el isomorfismo); de hecho, sus subgrupos generados finitamente son exactamente los grupos presentados recursivamente generados finitamente (nuevamente, hasta el isomorfismo).
El teorema de incrustación de Higman también implica el teorema de Novikov-Boone (originalmente probado en la década de 1950 por otros métodos) sobre la existencia de un grupo presentado de forma finita con un problema verbal algorítmicamente indecidible . De hecho, es bastante fácil construir un grupo presentado de forma recursiva finitamente generado con un problema verbal indecidible. Entonces, cualquier grupo presentado de manera finita que contenga este grupo como un subgrupo también tendrá un problema verbal indecidible.
La demostración habitual del teorema utiliza una secuencia de extensiones HNN que comienzan con R y terminan con un grupo G que se puede demostrar que tiene una presentación finita. [2]
Referencias
- ^ Graham Higman, Subgrupos de grupos presentados de forma finita. Actas de la Royal Society. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas. vol. 262 (1961), págs. 455-475.
- ^ Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp . Teoría de grupos combinatoria. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1