En matemáticas , la extensión HNN es una construcción importante de la teoría combinatoria de grupos .
Introducido en un artículo de 1949 Embedding Theorems for Groups [1] por Graham Higman , Bernhard Neumann y Hanna Neumann , integra un grupo G dado en otro grupo G ' , de tal manera que dos subgrupos isomórficos dados de G se conjugan (a través de un isomorfismo dado) en G ' .
Construcción
Sea G un grupo con presentación , y deja ser un isomorfismo entre dos subgrupos de G . Sea t un nuevo símbolo no en S , y defina
El grupo se llama la extensión HNN de G en relación con α. El grupo original G se denomina grupo base para la construcción, mientras que los subgrupos H y K son los subgrupos asociados . El nuevo generador t se llama letra estable .
Propiedades clave
Desde la presentación de contiene todos los generadores y relaciones de la presentación para G , existe un homomorfismo natural, inducido por la identificación de generadores, que lleva G a. Higman, Neumann y Neumann demostraron que este morfismo es inyectivo, es decir, una incrustación de G en. Una consecuencia es que dos subgrupos isomorfos de un grupo dado siempre se conjugan en algún sobregrupo ; el deseo de mostrar esto fue la motivación original para la construcción.
Lema de Britton
Una propiedad clave de las extensiones HNN es un teorema de forma normal conocido como Lema de Britton . [2] Dejasea como arriba y sea w el siguiente producto en:
Entonces, el lema de Britton se puede enunciar de la siguiente manera:
Lema de Britton. Si w = 1 en G ∗ α entonces
- ya sea y g 0 = 1 en G
- o y para algunos i ∈ {1, ..., n −1} se cumple una de las siguientes:
- ε yo = 1, ε yo +1 = −1, g yo ∈ H ,
- ε i = -1, ε i 1 = 1, g i ∈ K .
En términos contrapositivos, el Lema de Britton adopta la siguiente forma:
Lema de Britton (forma alternativa). Si w es tal que
- ya sea y g 0 ≠ 1 ∈ G ,
- o y el producto w no contiene subcadenas de la forma tht −1 , donde h ∈ H y de la forma t −1 kt donde k ∈ K ,
luego en .
Consecuencias del lema de Britton
La mayoría de las propiedades básicas de las extensiones HNN se derivan del Lema de Britton. Estas consecuencias incluyen los siguientes hechos:
- El homomorfismo natural de G a es inyectivo, para que podamos pensar en como que contiene G como un subgrupo .
- Cada elemento de orden finito en es conjugado a un elemento de G .
- Cada subgrupo finito de es conjugado a un subgrupo finito de G .
- Si y luego contiene un subgrupo isomorfo a un grupo libre de rango dos.
Aplicaciones
En términos del grupo fundamental en topología algebraica , la extensión HNN es la construcción requerida para comprender el grupo fundamental de un espacio topológico X que ha sido 'pegado' sobre sí mismo mediante un mapeo f (ver, por ejemplo, paquete de superficie sobre el círculo ). Es decir, las extensiones HNN están en relación con ese aspecto del grupo fundamental, como lo hacen los productos libres con fusión con respecto al teorema de Seifert-van Kampen para pegar los espacios X e Y a lo largo de un subespacio común conectado. Entre las dos construcciones se puede describir esencialmente cualquier encolado geométrico, desde el punto de vista del grupo fundamental.
Las extensiones HNN juegan un papel clave en la prueba de Higman del teorema de incrustación de Higman que establece que cada grupo presentado de forma recursiva finitamente generado se puede incrustar homomórficamente en un grupo presentado de forma finita . La mayoría de las demostraciones modernas del teorema de Novikov-Boone acerca de la existencia de un grupo presentado de forma finita con un problema verbal algorítmicamente indecidible también utilizan sustancialmente extensiones HNN.
Tanto las extensiones HNN como los productos gratuitos fusionados son bloques de construcción básicos en la teoría de Bass-Serre de los grupos que actúan sobre los árboles. [3]
La idea de la extensión HNN se ha extendido a otras partes del álgebra abstracta , incluida la teoría del álgebra de Lie .
Generalizaciones
Las extensiones HNN son ejemplos elementales de grupos fundamentales de gráficos de grupos y, como tales, son de importancia central en la teoría de Bass-Serre .
Referencias
- ^ Higman, Graham ; Neumann, Bernhard H .; Neumann, Hanna (1949). "Teoremas de incrustación para grupos". Journal of the London Mathematical Society (PDF)
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( ayuda ) . s1-24 (4): 247-254. doi : 10.1112 / jlms / s1-24.4.247 . - ^ Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp . Teoría de grupos combinatoria. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Ch. IV. Productos gratuitos y extensiones HNN.
- ^ Serre, Jean-Pierre (1980), Árboles. Traducido del francés por John Stillwell , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )