El decimotercer problema de Hilbert

El decimotercer problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert establecidos en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . Implica probar si existe una solución para todas las ecuaciones de séptimo grado utilizando funciones algebraicas (variante: continua ) de dos argumentos . Se presentó por primera vez en el contexto de la nomografía y, en particular, la "construcción nomográfica", un proceso mediante el cual se construye una función de varias variables utilizando funciones de dos variables. La variante para funciones continuas fue resuelta afirmativamente en 1957 por Vladimir Arnold cuando probó la Teorema de representación de Kolmogorov-Arnold , pero la variante para funciones algebraicas sigue sin resolverse.

William Rowan Hamilton demostró en 1836 que cualquier ecuación de séptimo grado se puede reducir mediante radicales a la forma . ${\ Displaystyle x ^ {7} + ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + 1 = 0}$

Con respecto a esta ecuación, Hilbert preguntó si su solución, x , considerada como una función de las tres variables a , b y c , se puede expresar como la composición de un número finito de funciones de dos variables.

Hilbert planteó originalmente su problema para las funciones algebraicas (Hilbert 1927, "... Existenz von algebraischen Funktionen ...", es decir, "... existencia de funciones algebraicas ..."; ver también Abhyankar 1997, Vitushkin 2004). Sin embargo, Hilbert también preguntó en una versión posterior de este problema si existe una solución en la clase de funciones continuas .

Una generalización de la segunda variante ("continua") del problema es la siguiente pregunta: ¿puede cada función continua de tres variables expresarse como una composición de un número finito de funciones continuas de dos variables? La respuesta afirmativa a esta pregunta general fue dada en 1957 por Vladimir Arnold , que entonces solo tenía diecinueve años y era alumno de Andrey Kolmogorov . Kolmogorov había demostrado el año anterior que cualquier función de varias variables se puede construir con un número finito de funciones de tres variables. Arnold luego amplió este trabajo para mostrar que de hecho solo se requerían funciones de dos variables, respondiendo así la pregunta de Hilbert cuando se plantean para la clase de funciones continuas.

Arnold volvió más tarde a la versión algebraica del problema, junto con Goro Shimura (Arnold y Shimura 1976).