En el análisis real y la teoría de la aproximación , el teorema de representación de Kolmogorov-Arnold (o teorema de superposición ) establece que cada función continua multivariante se puede representar como una superposición de funciones continuas de una variable. Resolvió una forma más restringida, aunque más general, del decimotercer problema de Hilbert . [1] [2] [3]
Los trabajos de Andrey Kolmogorov y Vladimir Arnold establecieron que si f es una función continua multivariante, entonces f puede escribirse como una composición finita de funciones continuas de una sola variable y la operación binaria de suma . [4] Más específicamente,
- .
Hay pruebas con construcciones específicas. [5]
En cierto sentido, demostraron que la única función multivariante verdadera es la suma, ya que cualquier otra función se puede escribir usando funciones univariadas y sumando. [6]
Historia
El teorema de representación de Kolmogorov-Arnold está estrechamente relacionado con el decimotercer problema de Hilbert . En su conferencia de París en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1900, David Hilbert formuló 23 problemas que, en su opinión, eran importantes para el desarrollo posterior de las matemáticas. [7] El decimotercer de estos problemas trataba de la solución de ecuaciones generales de grados superiores. Se sabe que para las ecuaciones algebraicas de grado 4 la solución se puede calcular mediante fórmulas que solo contienen radicales y operaciones aritméticas. Para órdenes superiores, la teoría de Galois nos muestra que las soluciones de ecuaciones algebraicas no se pueden expresar en términos de operaciones algebraicas básicas. De la llamada transformación de Tschirnhaus se deduce que la ecuación algebraica general
se puede traducir al formulario . La transformación de Tschirnhaus viene dada por una fórmula que contiene solo radicales y operaciones aritméticas y transformadas. Por tanto, la solución de una ecuación algebraica de grado se puede representar como una superposición de funciones de dos variables si y como superposición de funciones de variables si . Para la solución es una superposición de operaciones aritméticas, radicales y la solución de la ecuación .
Una simplificación adicional con transformaciones algebraicas parece imposible, lo que llevó a la conjetura de Hilbert de que "una solución de la ecuación general de grado 7 no se puede representar como una superposición de funciones continuas de dos variables". Esto explica la relación del decimotercer problema de Hilbert con la representación de una función de dimensión superior como superposición de funciones de dimensión inferior. En este contexto, ha estimulado muchos estudios en la teoría de funciones y otros problemas relacionados por diferentes autores. [8]
Variantes
Una variante del teorema de Kolmogorov que reduce el número de funciones externas se debe a George Lorentz . [9] Mostró en 1962 que las funciones externas puede ser reemplazado por una sola función . Más precisamente, Lorentz demostró la existencia de funciones, , tal que
- .
David Sprecher [10] reemplazó las funciones internaspor una sola función interna con un cambio apropiado en su argumento. Demostró que existen valores reales, una función continua , y una función continua creciente real con , por , tal que
- .
Phillip A. Ostrand [11] generalizó el teorema de superposición de Kolmogorov a espacios métricos compactos. Para dejar Ser espacios métricos compactos de dimensión finita. y deja . Entonces existen funciones continuas y funciones continuas tal que cualquier función continua es representable en la forma
- .
Limitaciones
El teorema no es válido en general para funciones complejas multivariadas, como se analiza aquí. [12] Además, la falta de suavidad de las funciones internas y su "comportamiento salvaje" ha limitado el uso práctico de la representación, [13] aunque existe cierto debate al respecto. [14]
Ver también
Referencias
- ^ Boris A. Khesin ; Serge L. Tabachnikov (2014). Arnold: Nadando a contracorriente . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 165. ISBN 978-1-4704-1699-7.
- ^ Shigeo Akashi (2001). "Aplicación de la teoría de la ϵ-entropía a Kolmogorov: teorema de representación de Arnold", Informes sobre física matemática , v. 48, págs. 19-26 doi: 10.1016 / S0034-4877 (01) 80060-4
- ^ Morris, Sidney A. (6 de julio de 2020). "Hilbert 13: ¿Existen funciones de valor real multivariadas continuas genuinas?" . Boletín de la American Mathematical Society . 58 (1): 107-118. doi : 10.1090 / toro / 1698 . ISSN 0273-0979 .
- ^ Bar-Natan, Dror . "Postre: Problema 13 de Hilbert, a todo color" .
- ^ Jürgen Braun y Michael Griebel. "Sobre una prueba constructiva del teorema de superposición de Kolmogorov", https://link.springer.com/article/10.1007/s00365-009-9054-2
- ^ Persi Diaconis y Mehrdad Shahshahani, Sobre funciones lineales de combinaciones lineales (1984) p. 180 ( enlace )
- ^ Hilbert, David (1902). "Problemas matemáticos" . Boletín de la American Mathematical Society . 8 (10): 461–462. doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 .
- ^ Jürgen Braun, Sobre el teorema de superposición de Kolmogorov y sus aplicaciones, SVH Verlag, 2010, 192 págs.
- ^ Lorentz, GG (1962). "Entropía métrica, anchos y superposiciones de funciones". American Mathematical Monthly . 69 (6): 469–485. doi : 10.1080 / 00029890.1962.11989915 .
- ^ David A. Sprecher, Sobre la estructura de funciones continuas de varias variables , Transactions of the American Mathematical Society , 115 (1965), págs. 340–355.
- ^ Ostrand, Phillip A. (1965). "Dimensión de espacios métricos y problema de Hilbert 13" . Boletín de la American Mathematical Society . 71 (4): 619–622. doi : 10.1090 / s0002-9904-1965-11363-5 .
- ^ Shigeo Akashi. "Aplicación de la teoría de la ϵ-entropía a Kolmogorov: teorema de representación de Arnold", https://doi.org/10.1016/S0034-4877(01)80060-4
- ^ F. Girosi y T. Poggio, "Propiedades de representación de redes: el teorema de Kolmogorov es irrelevante", en Computación neuronal, vol. 1, no. 4, págs. 465-469, diciembre de 1989, doi: 10.1162 / neco.1989.1.4.465.
- ^ Věra Kůrková. "El teorema de Kolmogorov es relevante", https://doi.org/10.1162/neco.1991.3.4.617
Fuentes
- Andrey Kolmogorov , "Sobre la representación de funciones continuas de varias variables mediante superposiciones de funciones continuas de un número menor de variables", Actas de la Academia de Ciencias de la URSS , 108 (1956), págs. 179-182; Traducción al inglés: Amer. Matemáticas. Soc. Transl. , 17 (1961), págs. 369-373.
- Vladimir Arnold , "Sobre las funciones de tres variables", Actas de la Academia de Ciencias de la URSS , 114 (1957), págs. 679–681; Traducción al inglés: Amer. Matemáticas. Soc. Transl. , 28 (1963), págs. 51–54.
Otras lecturas
- S. Ya. Khavinson, Mejor aproximación por superposiciones lineales (Nomografía aproximada) , AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)
enlaces externos
- Un algoritmo de aprendizaje automático profundo para la construcción de la representación de Kolmogorov-Arnold.