El decimoctavo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert establecidos en una célebre lista compilada en 1900 por el matemático David Hilbert . Hace tres preguntas separadas sobre celosías y empaquetamiento de esferas en el espacio euclidiano. [1]
Grupos de simetría en dimensiones
La primera parte del problema se pregunta si solo hay un número finito de grupos espaciales esencialmente diferentes en-espacio euclidiano dimensional . Esto fue respondido afirmativamente por Bieberbach .
Revestimiento anisoédrico en 3 dimensiones
La segunda parte del problema pregunta si existe un poliedro que teja el espacio euclidiano tridimensional pero que no es la región fundamental de ningún grupo espacial; es decir, qué mosaicos pero no admite un mosaico isoédrico ( mosaico transitivo ). Estos azulejos ahora se conocen como anisoédricos . Al plantear el problema en tres dimensiones, Hilbert probablemente estaba asumiendo que tal mosaico no existe en dos dimensiones; esta suposición más tarde resultó ser incorrecta.
El primer mosaico de este tipo en tres dimensiones fue encontrado por Karl Reinhardt en 1928. El primer ejemplo en dos dimensiones fue encontrado por Heesch en 1935. [2] El problema de Einstein relacionado pide una forma que pueda enlosar el espacio pero no con un grupo cíclico infinito. de simetrías.
Embalaje de esfera
La tercera parte del problema solicita el empaque de esferas más denso o el empaque de otras formas especificadas. Aunque incluye expresamente formas distintas de las esferas, generalmente se toma como equivalente a la conjetura de Kepler .
En 1998, el matemático estadounidense Thomas Callister Hales dio una prueba asistida por computadora de la conjetura de Kepler. Muestra que la forma más eficiente del espacio para empaquetar esferas es en forma de pirámide. [3]
Referencias
- ^ Milnor 1976 .
- ^ Edwards 2003 .
- ^ Hales 2005 .
- Edwards, Steve (2003), Heesch's Tiling , archivado desde el original el 18 de julio de 2011
- Hales, Thomas C. (2005), "Una prueba de la conjetura de Kepler" (PDF) , Annals of Mathematics , 162 (3): 1065-1185, arXiv : math / 9811078 , doi : 10.4007 / annals.2005.162.1065
- Milnor, J. (1976), "Hilbert's problem 18", en Browder, Felix E. (ed.), Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert , Actas de simposios en matemáticas puras, 28 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1428-1