En geometría plana, el problema de Einstein pregunta por la existencia de un único prototipo que por sí mismo forma un conjunto aperiódico de prototipos , es decir, una forma que puede teselar el espacio, pero solo de manera no periódica . Esta forma se llama "einstein" (que no debe confundirse con el físico Albert Einstein ), un juego de palabras alemanas ein Stein , que significa una ficha.. Dependiendo de las definiciones particulares de no periodicidad y las especificaciones de qué conjuntos pueden calificar como mosaicos y qué tipos de reglas de coincidencia están permitidas, el problema está abierto o resuelto. El problema de Einstein puede verse como una extensión natural de la segunda parte del decimoctavo problema de Hilbert , que pide un solo poliedro que enjaece el espacio euclidiano tridimensional, pero tal que ningún teselado de este poliedro sea isoédrico . [1] Estas baldosas anisoédricas fueron encontradas por Karl Reinhardt en 1928, pero estas baldosas anisoédricas cubren el espacio de baldosas periódicamente.
Soluciones propuestas
En 1988, Peter Schmitt descubrió un único prototipo aperiódico en el espacio euclidiano tridimensional . Si bien ningún mosaico de este prototipo admite una traslación como simetría, algunos tienen una simetría de tornillo . La operación del tornillo implica una combinación de una traslación y una rotación a través de un múltiplo irracional de π, por lo que ningún número de operaciones repetidas produce una traslación pura. Esta construcción se extendió posteriormente por John Horton Conway y Ludwig Danzer a una convexa prototeselado aperiódica, la baldosa Schmitt-Conway-Danzer . La presencia de la simetría del tornillo resultó en una reevaluación de los requisitos de no periodicidad. [2] Chaim Goodman-Strauss sugirió que un mosaico se considere fuertemente aperiódico si no admite un grupo cíclico infinito de movimientos euclidianos como simetrías, y que solo los conjuntos de mosaicos que imponen una aperiodicidad fuerte deben llamarse fuertemente aperiódicos, mientras que otros conjuntos deben llamarse débilmente aperiódico . [3]
En 1996, Petra Gummelt construyó una teja decagonal decorada y demostró que cuando se permiten dos tipos de superposiciones entre pares de tejas, las tejas pueden cubrir el plano, pero solo de forma no periódica. [4] Normalmente se entiende por baldosas un revestimiento sin solapamientos, por lo que la baldosa Gummelt no se considera un prototipo aperiódico. Joshua Socolar y Joan Taylor propusieron a principios de 2010 una loseta aperiódica en el plano euclidiano que consta de una sola pieza, la loseta Socolar- Taylor. [5] Esta construcción requiere reglas de emparejamiento, reglas que restringen la orientación relativa de dos mosaicos y que hacen referencia a las decoraciones dibujadas en los mosaicos, y estas reglas se aplican a pares de mosaicos no adyacentes. Alternativamente, se puede construir una loseta sin decorar sin reglas coincidentes, pero la loseta no está conectada. La construcción puede extenderse a un mosaico tridimensional conectado sin reglas de coincidencia, pero este mosaico permite mosaicos que son periódicos en una dirección, por lo que solo es ligeramente aperiódico. Además, el mosaico no se conecta simplemente.
La existencia de un conjunto de mosaicos fuertemente aperiódico para el plano euclidiano que consiste en un mosaico conectado sin reglas coincidentes es un problema sin resolver.
Ver también
- Mosaico binario , un mosaico débilmente aperiódico del plano hiperbólico con un solo mosaico
Referencias
- ^ Senechal, Marjorie (1996) [1995]. Cuasicristales y geometría (edición en rústica corregida). Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 22-24. ISBN 0-521-57541-9.
- ^ Radin, Charles (1995). "Azulejos aperiódicos en dimensiones superiores" . Actas de la American Mathematical Society . Sociedad Matemática Estadounidense. 123 (11): 3543–3548. doi : 10.2307 / 2161105 . JSTOR 2161105 . Señor 1277129 .
- ^ Goodman-Strauss, Chaim (10 de enero de 2000). "Preguntas abiertas en mosaico" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de abril de 2007 . Consultado el 24 de marzo de 2007 .
- ^ Gummelt, Petra (1996). "Penrose Tilings como revestimientos de decágonos congruentes". Geometriae Dedicata . 62 (1): 1–17. doi : 10.1007 / BF00239998 .
- ^ Socolar, Joshua ES; Taylor, Joan M. (2011). "Un azulejo hexagonal aperiódico". Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 118 (8): 2207–2231. arXiv : 1003.4279 . doi : 10.1016 / j.jcta.2011.05.001 .