En geometría , se dice que una forma es anisoédrica si admite un mosaico , pero tal mosaico no es isoédrico (mosaico transitivo); es decir, en cualquier mosaico con esa forma hay dos mosaicos que no son equivalentes bajo ninguna simetría del mosaico. Un revestimiento con baldosas anisoédricas se denomina baldosas anisoédricas . [1]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Heesch_anisohedral_tiling.svg/300px-Heesch_anisohedral_tiling.svg.png)
Existencia
La primera parte del decimoctavo problema de Hilbert preguntaba si existe un poliedro anisoédrico en el espacio tridimensional euclidiano ; Grünbaum y Shephard sugieren [2] que Hilbert suponía que no existía tal mosaico en el plano. Reinhardt respondió al problema de Hilbert en 1928 al encontrar ejemplos de tales poliedros, y afirmó que pronto aparecería su prueba de que no existen tales mosaicos en el plano. [3] Sin embargo, Heesch luego dio un ejemplo de un mosaico anisoédrico en el plano en 1935. [4]
Baldosas convexas
Reinhardt había considerado previamente la cuestión de los polígonos convexos anisoédricos , mostrando que no había hexágonos convexos anisoédricos, pero no pudo demostrar que no existían tales pentágonos convexos , al tiempo que encontró los cinco tipos de pentágonos convexos que colocaban el plano isoédrico en mosaico . [2] Kershner dio tres tipos de pentágono convexo anisoédrico en 1968; una de estas baldosas utiliza solo isometrías directas sin reflejos ni reflejos de deslizamiento, respondiendo así a una pregunta de Heesch. [5]
Números isoédricos
El problema de las baldosas anisoédricas se ha generalizado diciendo que el número isoédrico de una baldosa es el número más bajo de órbitas (clases de equivalencia) de baldosas en cualquier baldosa de esa baldosa bajo la acción del grupo de simetría de esa baldosa, y que una baldosa con el número isoédrico k es k -anisoédrico. Berglund preguntó si existen baldosas k- anisoédricas para todo k , dando ejemplos para k ≤ 4 (se conocían anteriormente ejemplos de baldosas 2-anisoédricas y 3-anisoédricas, mientras que la baldosa 4-anisoédrica dada fue la primera baldosa publicada de este tipo). [6] Goodman-Strauss consideró esto en el contexto de preguntas generales sobre cuán complejo puede ser el comportamiento de un mosaico dado o un conjunto de mosaicos, y señaló un ejemplo de 10 anisoédricos de Myers. [7] Grünbaum y Shephard habían planteado previamente una ligera variación sobre la misma pregunta. [8]
Socolar demostró en 2007 que se pueden lograr números isoédricos arbitrariamente altos en dos dimensiones si la loseta está desconectada, o tiene bordes coloreados con restricciones sobre qué colores pueden ser adyacentes, y en tres dimensiones con una loseta conectada sin colores, señalando que en dos dimensiones para una loseta conectada sin colores, el número isoédrico más alto conocido es 10. [9]
Joseph Myers ha producido una colección de mosaicos con números isoédricos altos, particularmente un polihexágono con número isoédrico 10 (que ocurre en 20 órbitas en traducción) y otro con número isoédrico 9 (que ocurre en 36 órbitas en traducción). [1]
Referencias
- ^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
- ↑ a b Grünbaum y Shephard, sección 9.6
- ^ Reinhardt, Karl (1928). "Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope". Sitzungsberichte der Preussischen Akamemie der Wissenschaften Berlín, Physikalisch-Mathematische Klasse : 150-155.
- ^ Heesch, H. (1935). "Aufbau der Ebene aus kongruenten Bereichen" (transcripción de Berglund, con traducción al inglés) . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse . Neue Folge. 1 : 115-117 . Consultado el 9 de septiembre de 2007 .
- ^ Kershner, RB (octubre de 1968). "Sobre la pavimentación del avión". American Mathematical Monthly (tarifa requerida). The American Mathematical Monthly, vol. 75, núm. 8. 75 (8): 839–844. doi : 10.2307 / 2314332 . JSTOR 2314332 .
- ^ Berglund, John (1993). "¿Hay una baldosa k- anisoédrica para k ≥ 5?". American Mathematical Monthly (tarifa requerida). The American Mathematical Monthly, vol. 100, núm. 6. 100 (6): 585–588. doi : 10.2307 / 2324621 . JSTOR 2324621 .
- ^ Goodman-Strauss, Chaim. "Teselaciones" (PDF) .
- ↑ Grünbaum y Shephard, ejercicio 9.3.2
- ^ Socolar, Joshua ES (2007). "Baldosas de parquet hexagonales: k -Monotiles isoédricos con k arbitrariamente grande " (PDF corregido) . El inteligente matemático . 29 : 33–38. doi : 10.1007 / bf02986203 . Consultado el 9 de septiembre de 2007 .
enlaces externos
- John Berglund, Página de mosaicos anisoédricos
- Weisstein, Eric W. "Azulejos anisoédricos" . MathWorld .
- Joseph Myers, Polyomino, Polyhex y Polyiamond Tiling