La transformada de Hilbert-Huang ( HHT ) es una forma de descomponer una señal en las llamadas funciones de modo intrínseco (IMF) junto con una tendencia, y obtener datos de frecuencia instantáneos . Está diseñado para funcionar bien con datos no estacionarios y no lineales . A diferencia de otras transformadas comunes como la transformada de Fourier , el HHT es más como un algoritmo (un enfoque empírico) que se puede aplicar a un conjunto de datos, en lugar de una herramienta teórica.
Introducción
La transformada de Hilbert-Huang (HHT), un nombre designado por la NASA [ cita requerida ] , fue propuesta por Norden E. Huang et al. (1996, 1998, 1999, 2003, 2012). Es el resultado de la descomposición en modo empírico (EMD) y el análisis espectral de Hilbert (HSA). El HHT utiliza el método EMD para descomponer una señal en las llamadas funciones de modo intrínseco ( IMF ) con una tendencia, y aplica el método HSA a los IMF para obtener datos de frecuencia instantáneos . Dado que la señal se descompone en el dominio del tiempo y la longitud de los IMF es la misma que la señal original, HHT conserva las características de la frecuencia variable. Esta es una ventaja importante de HHT ya que la señal del mundo real generalmente tiene múltiples causas que ocurren en diferentes intervalos de tiempo. El HHT proporciona un nuevo método para analizar datos de series de tiempo no estacionarios y no lineales .
Definición
Descomposición en modo empírico (EMD)
La parte fundamental del HHT es el método de descomposición en modo empírico ( EMD ). Al dividir las señales en varios componentes, el EMD se puede comparar con otros métodos de análisis como la transformada de Fourier y la transformada Wavelet . Con el método EMD, cualquier conjunto de datos complicado se puede descomponer en un número finito y, a menudo, pequeño de componentes. Estos componentes forman una base completa y casi ortogonal para la señal original. Además, pueden describirse como funciones de modo intrínseco ( IMF ). [1]
Debido a que el primer IMF generalmente lleva los componentes más oscilantes (de alta frecuencia), se puede rechazar para eliminar los componentes de alta frecuencia (por ejemplo, ruido aleatorio). [2] [3] Los algoritmos de suavizado basados en EMD se han utilizado ampliamente en el procesamiento de datos sísmicos, donde los registros sísmicos de alta calidad son muy demandados. [4] [5]
Sin salir del dominio del tiempo, EMD es adaptable y altamente eficiente. [6] Dado que la descomposición se basa en la escala de tiempo característica local de los datos, se puede aplicar a procesos no lineales y no estacionarios . [6]
Funciones de modo intrínseco (IMF)
Un FMI se define como una función que satisface los siguientes requisitos:
- En todo el conjunto de datos, el número de extremos y el número de cruces por cero deben ser iguales o diferir como máximo en uno.
- En cualquier punto, el valor medio de la envolvente definida por los máximos locales y la envolvente definida por los mínimos locales es cero.
Representa un modo oscilatorio generalmente simple como contraparte de la función armónica simple . Por definición, un FMI es cualquier función con el mismo número de extremos y cruces por cero, cuyas envolventes son simétricas con respecto a cero. [6] Esta definición garantiza una transformada de Hilbert del FMI con buen comportamiento .
Análisis espectral de Hilbert
El análisis espectral de Hilbert (HSA) es un método para examinar la frecuencia instantánea de cada IMF en función del tiempo. El resultado final es una distribución frecuencia-tiempo de la amplitud (o energía) de la señal, designada como espectro de Hilbert , que permite la identificación de características localizadas.
Técnicas
Descomposición en modo empírico (EMD)
El método EMD es un paso necesario para reducir cualquier dato dado a una colección de funciones de modo intrínseco (IMF) a las que se puede aplicar el análisis espectral de Hilbert .
IMF representa un modo oscilatorio simple como contraparte de la función armónica simple , pero es mucho más general: en lugar de amplitud y frecuencia constantes en un componente armónico simple , un IMF puede tener amplitud y frecuencia variables a lo largo del eje del tiempo.
El procedimiento de extracción de un IMF se llama cribado. El proceso de cribado es el siguiente:
- Identifique todos los extremos locales en los datos de prueba.
- Conecte todos los máximos locales mediante una línea spline cúbica como envolvente superior.
- Repita el procedimiento para los mínimos locales para producir el sobre inferior.
Los sobres superior e inferior deben cubrir todos los datos entre ellos. Su media es m 1 . La diferencia entre los datos y m 1 es el primer componente h 1 :
Idealmente, h 1 debería satisfacer la definición de un IMF, ya que la construcción de h 1 descrita anteriormente debería haberlo hecho simétrico y tener todos los máximos positivos y todos los mínimos negativos. Después de la primera ronda de tamizado, una cresta puede convertirse en un máximo local . Los nuevos extremos generados de esta manera revelan realmente los modos propios perdidos en el examen inicial. En el proceso de cribado posterior, h 1 solo puede tratarse como un proto-IMF. En el siguiente paso, h 1 se trata como datos:
Después de cribado repetido hasta k veces, h 1 se convierte en un IMF, es decir
Entonces, h 1k se designa como el primer componente FMI de los datos:
Criterios de parada del proceso de cribado
El criterio de interrupción determina el número de pasos de tamizado para producir un IMF. Los siguientes son los cuatro criterios de suspensión existentes:
- Desviación Estándar
Este criterio es propuesto por Huang et al. (1998). Es similar a la prueba de convergencia de Cauchy , y definimos una suma de la diferencia, SD, como
- Luego, el proceso de tamizado se detiene cuando SD es menor que un valor predeterminado.
- Criterio del número S
Este criterio se basa en el llamado número S, que se define como el número de tamizados consecutivos para los que el número de cruces por cero y extremos son iguales o como mucho diferentes en uno. Específicamente, se preselecciona un número S. El proceso de cribado se detendrá solo si, para S cribados consecutivos, el número de cruces por cero y extremos permanece igual, y son iguales o, como mucho, difieren en uno.
- Método de umbral
Propuesto por Rilling, Flandrin y Gonçalvés, el método de umbral establece dos valores de umbral para garantizar fluctuaciones globalmente pequeñas mientras tanto, teniendo en cuenta las grandes excursiones localmente. [7]
- Seguimiento de la diferencia de energía
Propuesto por Cheng, Yu y Yang, el método de seguimiento de energía diferente utilizó la suposición de que la señal original es una composición de señales ortogonales y calculó la energía basándose en la suposición. Si el resultado de EMD no es una base ortogonal de la señal original, la cantidad de energía será diferente de la energía original. [8]
Una vez que se selecciona un criterio de suspensión , se puede obtener el primer IMF, c 1 . En general, c 1 debe contener la escala más fina o el componente de período más corto de la señal . Entonces, podemos separar c 1 del resto de los datos porDado que el residuo, r 1 , todavía contiene variaciones de período más prolongadas en los datos, se trata como los nuevos datos y se somete al mismo proceso de cribado descrito anteriormente.
Este procedimiento se puede repetir para todos los r j subsiguientes , y el resultado es
El proceso de tamizado finalmente se detiene cuando el residuo , r n , se convierte en una función monótona de la que no se puede extraer más IMF. De las ecuaciones anteriores, podemos inducir que
Por tanto, se consigue una descomposición de los datos en n modos empíricos. Los componentes del EMD suelen ser físicamente significativos, ya que las escalas características están definidas por los datos físicos. Flandrin y col. (2003) y Wu y Huang (2004) han demostrado que el EMD es equivalente a un banco de filtros diádico. [5] [9]
Análisis espectral de Hilbert
Habiendo obtenido los componentes de la función de modo intrínseco, la frecuencia instantánea se puede calcular usando la transformada de Hilbert . Después de realizar la transformada de Hilbert en cada componente del FMI, los datos originales se pueden expresar como la parte real, Real, de la siguiente forma:
Aplicaciones actuales
- EMD mejorado en señales de ECG : Ahmadi et al. [2019] presentó un EMD mejorado y en comparación con otros tipos de EMD. Los resultados muestran que el algoritmo propuesto no proporciona un IMF falso para estas funciones y no se coloca en un bucle infinito. La comparación de tipos de EMD en señales de ECG (electrocardiografía) revela que el EMD mejorado era un algoritmo apropiado para analizar señales biológicas. [10]
- Aplicaciones biomédicas : Huang et al. [1999b] analizó la presión arterial pulmonar en ratas conscientes y desenfrenadas . Pachori (2008) ha utilizado EMD para la discriminación de señales de EEG convulsivas y sin convulsiones. [11]
- Neurociencia : Pigorini et al. [2011] analizó la respuesta del EEG humano a la estimulación magnética transcraneal; [12] Liang y col. [2005] analizó los potenciales evocados visuales del macaco que realiza una tarea de atención espacial visual.
- Epidemiología : Cummings et al. [2004] aplicó el método EMD para extraer un modo periódico de 3 años incluido en la serie temporal de brotes de dengue registrada en Tailandia y evaluó la velocidad de desplazamiento de los brotes de dengue. Yang y col. [2010] aplicó el método EMD para delinear subcomponentes de una variedad de series de tiempo epidemiológicas neuropsiquiátricas, incluida la asociación entre el efecto estacional de la búsqueda de Google para la depresión [2010], la asociación entre el suicidio y la contaminación del aire en la ciudad de Taipei [2011], y asociación entre el frente frío y la incidencia de migraña en la ciudad de Taipei [2011].
- Química e ingeniería química : Phillips et al. [2003] investigó un cambio conformacional en la dinámica browniana y simulaciones de dinámica molecular utilizando un análisis comparativo de HHT y métodos wavelet . Wiley y col. [2004] utilizó HHT para investigar el efecto de la dinámica molecular filtrada digitalmente reversible que puede mejorar o suprimir frecuencias específicas de movimiento. Montesinos et al. [2002] aplicó HHT a señales obtenidas de la estabilidad neuronal BWR .
- Aplicaciones financieras : Huang et al. [2003b] aplicó HHT a series de tiempo financieras no estacionarias y utilizó datos semanales sobre tasas hipotecarias.
- Procesamiento de imágenes : Hariharan et al. [2006] aplicó EMD a la fusión y mejora de imágenes. [13] Chang y col. [2009] aplicó un EMD mejorado al reconocimiento del iris, que informó un 100% más rápido en velocidad computacional sin perder precisión que el EMD original. [14]
- Turbulencia atmosférica : Hong et al. [2010] aplicó HHT a los datos de turbulencia observados en la capa límite estable para separar los movimientos turbulentos y no turbulentos. [15]
- Procesos de escala con corrección de intermitencia : Huang et al. [2008] ha generalizado el HHT en un orden arbitrario para tener en cuenta la corrección de intermitencia de los procesos de escala, y ha aplicado este método basado en HHT a los datos de turbulencia hidrodinámica recopilados en un experimento de laboratorio; [16] descarga diaria del río; [17] Estadísticas de partículas individuales de Lagrange a partir de simulación numérica directa; [18] Tan et al., [2014], campo de vorticidad de turbulencia bidimensional; [19] Qiu et al. [2016], turbulencia bacteriana bidimensional; [20] Li & Huang [2014], mercado de valores de China; [21] Calif y col. [2013], radiación solar. [22] Se puede encontrar un código fuente para realizar el análisis espectral de Hilbert de orden arbitrario en. [23]
- Aplicaciones meteorológicas y atmosféricas : Salisbury y Wimbush [2002], utilizando datos del Índice de Oscilación del Sur, aplicaron la técnica HHT para determinar si los datos de la Esfera de influencia están lo suficientemente libres de ruido como para hacer predicciones útiles y si se pueden producir futuros eventos de oscilación del sur de El Niño. predicho a partir de los datos de SOI [ aclaración necesaria ] . Pan y col. [2002] utilizó HHT para analizar los datos de viento del dispersómetro satelital sobre el noroeste del Pacífico y comparó los resultados con los resultados de la función ortogonal empírica vectorial .
- Ingeniería oceánica : Schlurmann [2002] introdujo la aplicación de HHT para caracterizar ondas de agua no lineales desde dos perspectivas diferentes, utilizando experimentos de laboratorio. Veltcheva [2002] aplicó HHT a los datos de las olas del mar cercano a la costa. Larsen y col. [2004] utilizó HHT para caracterizar el entorno electromagnético submarino e identificar perturbaciones electromagnéticas transitorias provocadas por el hombre.
- Estudios sísmicos : Huang et al. [2001] utilizó HHT para desarrollar una representación espectral de datos de terremotos . Chen y col. [2002a] utilizó HHT para determinar las curvas de dispersión de las ondas sísmicas superficiales y comparó sus resultados con el análisis de frecuencia de tiempo basado en Fourier . Shen y col. [2003] aplicó HHT al movimiento del suelo y comparó el resultado de HHT con el espectro de Fourier .
- Física solar : Nakariakov et al. [2010] utilizó EMD para demostrar la forma triangular de pulsaciones cuasi-periódicas detectadas en la emisión de rayos X duros y microondas generada en las erupciones solares . [24] Barnhart y Eichinger [2010] utilizaron HHT para extraer los componentes periódicos dentro de los datos de las manchas solares , incluidos los ciclos de Schwabe de 11 años, Hale de 22 años y Gleissberg de ~ 100 años. [25] Compararon sus resultados con el análisis de Fourier tradicional .
- Aplicaciones estructurales : Quek et al. [2003] ilustran la viabilidad del HHT como una herramienta de procesamiento de señales para localizar una anomalía en forma de grieta , delaminación o pérdida de rigidez en vigas y placas basándose en señales de ondas de propagación adquiridas físicamente. Utilizando HHT, Li et al. [2003] analizó los resultados de una prueba pseudodinámica de dos columnas rectangulares de puente de hormigón armado .
- Monitoreo de salud : Pines y Salvino [2002] aplicaron HHT en monitoreo de salud estructural. Yang y col. [2004] utilizó HHT para la detección de daños, aplicando EMD para extraer picos de daño debido a cambios repentinos en la rigidez estructural . Yu y col. [2003] utilizó HHT para el diagnóstico de fallas de los rodamientos de rodillos. Parey y Pachori (2012) han aplicado EMD para el diagnóstico de fallas de engranajes. [26]
- Identificación del sistema : Chen y Xu [2002] exploraron la posibilidad de usar HHT para identificar las proporciones de amortiguamiento modal de una estructura con frecuencias modales estrechamente espaciadas y compararon sus resultados con FFT . Xu y col. [2003] comparó las frecuencias modales y las relaciones de amortiguación en varios incrementos de tiempo y diferentes vientos para uno de los edificios compuestos más altos del mundo.
- Reconocimiento de voz : Huang y Pan [2006] han utilizado el HHT para determinar el tono del habla. [27]
- Física de astropartículas : Bellini et al. [2014] (colaboración Borexino), [28] Medición de la modulación estacional de los flujos de neutrinos solares con el experimento Borexino, Phys. Rev. D 89, 112007 2014
Limitaciones
Chen y Feng [2003] propusieron una técnica para mejorar el procedimiento HHT. [29] Los autores señalaron que el EMD tiene limitaciones para distinguir diferentes componentes en señales de banda estrecha . La banda estrecha puede contener (a) componentes que tienen frecuencias adyacentes o (b) componentes que no son adyacentes en frecuencia pero para los cuales uno de los componentes tiene una intensidad de energía mucho mayor que los otros componentes. La técnica mejorada se basa en ondas de fenómeno de batido.
Datig y Schlurmann [2004] [30] realizaron un estudio exhaustivo sobre el rendimiento y las limitaciones de HHT con aplicaciones particulares a las ondas de agua irregulares . Los autores realizaron una investigación exhaustiva sobre la interpolación spline . Los autores discutieron el uso de puntos adicionales, tanto hacia adelante como hacia atrás, para determinar mejores envolventes. También realizaron un estudio paramétrico sobre la mejora propuesta y mostraron una mejora significativa en los cálculos generales de EMD. Los autores señalaron que HHT es capaz de diferenciar entre componentes variables en el tiempo de cualquier dato dado. Su estudio también mostró que HHT fue capaz de distinguir entre olas y olas portadoras.
Huang y Wu [2008] [31] revisaron las aplicaciones de la transformación de Hilbert-Huang enfatizando que la base teórica de HHT es puramente empírica y señalando que "uno de los principales inconvenientes de la EMD es la mezcla de modos". También describen problemas pendientes pendientes con HHT, que incluyen: efectos finales del EMD, problemas de spline, selección y singularidad del mejor IMF. Aunque el EMD de conjunto (EEMD) puede ayudar a mitigar este último.
Efecto final
El efecto final ocurre al principio y al final de la señal porque no hay ningún punto antes del primer punto de datos y después del último punto de datos para ser considerados juntos. En la mayoría de los casos, estos puntos finales no son el valor extremo de la señal. Mientras se realiza el proceso EMD del HHT, la envolvente extrema divergerá en los puntos finales y provocará un error significativo. Este error distorsiona la forma de onda IMF en sus puntos finales. Además, el error en el resultado de la descomposición se acumula a través de cada repetición del proceso de tamizado. [32] Se proponen varios métodos para resolver el efecto final en HHT:
- Método de extensión de onda característica
- Método de extensión de espejo
- Método de extensión de datos
- Método de búsqueda de similitudes
Problema de mezcla de modos
El problema de mezcla de modos ocurre durante el proceso de EMD. La implementación sencilla del procedimiento de tamizado produce una mezcla de modos debido a la rectificación del modo IMF. La señal específica no se puede separar en los mismos IMF cada vez. Este problema dificulta la implementación de la extracción de características, el entrenamiento de modelos y el reconocimiento de patrones, ya que la característica ya no está fija en un índice de etiquetado. El problema de mezcla de modos se puede evitar al incluir una prueba de intermitencia durante el proceso de HHT. [33]
- Método de enmascaramiento
- Descomposición del modo empírico del conjunto
Descomposición en modo empírico de conjuntos (EEMD)
La descomposición del modo empírico del conjunto propuesta se desarrolla de la siguiente manera:
- agregue una serie de ruido blanco a los datos de destino;
- descomponer los datos con ruido blanco añadido en IMF;
- repita el paso 1 y el paso 2 una y otra vez, pero con diferentes series de ruido blanco cada vez; y
- obtener los medios (conjuntos) de los correspondientes IMF de las descomposiciones como resultado final.
Los efectos de la descomposición usando el EEMD son que las series de ruido blanco agregadas se cancelan entre sí, y los IMF medios permanecen dentro de las ventanas del filtro diádico natural, lo que reduce significativamente la posibilidad de mezcla de modos y preserva la propiedad diádica.
Comparación con otras transformaciones
Transformar | Fourier | Wavelet | Hilbert |
---|---|---|---|
Base | a priori | a priori | adaptado |
Frecuencia | convolución: global, incertidumbre | convolución: regional, incertidumbre | diferenciación: local, certeza |
Presentación | frecuencia energética | energía-tiempo-frecuencia | energía-tiempo-frecuencia |
No lineal | No | No | sí |
No estacionario | No | sí | sí |
Extracción de características | No | discreto: no, continuo: sí | sí |
Base teórica | teoría completa | teoría completa | empírico |
Ver también
- Transformada de Hilbert
- Análisis espectral de Hilbert
- Espectro de Hilbert
- Frecuencia instantánea
- Descomposición en modo empírico multidimensional
- No lineal
- Transformada wavelet
- Transformada de Fourier
- Envolvente de señal
Referencias
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