En matemáticas, el teorema de la proyección de Hilbert es un resultado famoso del análisis convexo que dice que para cada vectoren un espacio de Hilbert y cada convexo cerrado no vacío , existe un vector único para cual se minimiza sobre los vectores .
Esto es, en particular, cierto para cualquier subespacio cerrado. de . En ese caso, una condición necesaria y suficiente para es ese el vector ser ortogonal a .
Caso de dimensión finita
Se puede obtener cierta intuición del teorema considerando la condición de primer orden del problema de optimización.
Considere un espacio real de Hilbert de dimensión finita con un subespacio y un punto . Si es un minimizador (en ) de , entonces la derivada debe ser cero.
En notación de derivada matricial [1]
Desde representa una dirección tangente arbitraria, que es un vector en , vemos eso debe ser ortogonal a todos los .
Prueba
- Demostremos la existencia de y :
Deje δ sea la distancia entre x y C , ( y n ) una secuencia en C tal que la distancia al cuadrado entre x y y n es inferior o igual a delta 2 + 1 / n . Deje que n y m sea dos números enteros, a continuación, las siguientes igualdades son ciertas:
y
Por tanto, tenemos:
(Recuerde la fórmula para la mediana en un triángulo - Median_ (geometría) # Formulas_involving_the_medians'_lengths ) Dando un límite superior a los dos primeros términos de la igualdad y observando que el medio de y n y y m pertenecen a C y tiene por lo tanto, una distancia mayor o igual a δ de x , se obtiene:
La última desigualdad prueba que ( y n ) es una secuencia de Cauchy . Como C es completo, la secuencia es convergente a un punto y en C , cuya distancia desde x es mínima.
- Demostremos la unicidad de y :
Sean y 1 y y 2 dos minimizadores. Luego:
Desde pertenece a C , tenemos y por lo tanto
Por eso , lo que demuestra singularidad.
- Demostremos la condición equivalente en y cuando C = M es un subespacio cerrado.
La condición es suficiente: deja tal que para todos . lo que prueba que es un minimizador.
La condición es necesaria: dejar Sea el minimizador. Dejar y .
siempre es no negativo. Por lo tanto,
QED
Ver también
Referencias
- ^ Petersen, Kaare. "El libro de cocina de Matrix" (PDF) . Consultado el 9 de enero de 2021 .
Bibliografía
- Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (Tercera ed.).