En los matemáticos campos de álgebra lineal y análisis funcional , el complemento ortogonal de un subespacio W de un espacio vectorial V equipado con una forma bilineal B es el conjunto W ⊥ de todos los vectores en V que son ortogonales a cada vector en W . De manera informal, se llama perp , abreviatura de complemento perpendicular . Es un subespacio de V .
Ejemplo
En el caso de que W sea el subespacio de(con el producto escalar habitual ) abarcado por las filas de la siguiente matriz,
su complemento ortogonal W ⊥ está generado por los tres vectores de fila de
El hecho de que cada vector de la primera lista sea ortogonal a cada vector de la segunda lista puede comprobarse mediante cálculo directo. El hecho de que los intervalos de estos vectores sean ortogonales se sigue entonces por la bilinealidad del producto escalar. Finalmente, el hecho de que estos espacios sean complementos ortogonales se deriva de las relaciones dimensionales que se dan a continuación.
Formas bilineales generales
Dejar ser un espacio vectorial sobre un campo equipado con una forma bilineal Definimos ser ortogonal a la izquierda a , y ser ortogonal a la derecha Cuándo Para un subconjunto de definir el complemento ortogonal izquierdo ser - estar
Existe una definición correspondiente de complemento ortogonal a la derecha. Para una forma bilineal reflexiva , donde implica para todos y en los complementos izquierdo y derecho coinciden. Este será el caso sies una forma simétrica o alterna .
La definición se extiende a una forma bilineal en un módulo libre sobre un anillo conmutativo , y a una forma sesquilínea extendida para incluir cualquier módulo libre sobre un anillo conmutativo con conjugación . [1]
Propiedades
- Un complemento ortogonal es un subespacio de ;
- Si luego ;
- El radical de es un subespacio de todo complemento ortogonal;
- ;
- Si es no degenerado y es de dimensión finita, entonces
- Si son subespacios de un espacio de dimensión finita y luego
Espacios interiores de productos
Esta sección considera los complementos ortogonales en los espacios interiores del producto . [2] Dos vectores y son ortogonales si que pasa si y solo si para todos los escalares [3]
Propiedades
El complemento ortogonal siempre está cerrado en la topología métrica. En los espacios de dimensión finita, eso es simplemente un ejemplo del hecho de que todos los subespacios de un espacio vectorial están cerrados. En los espacios de Hilbert de dimensión infinita , algunos subespacios no están cerrados, pero todos los complementos ortogonales están cerrados. En tales espacios, el complemento ortogonal del complemento ortogonal dees el cierre de es decir,
Algunas otras propiedades útiles que siempre se mantienen son las siguientes. Dejar ser un espacio de Hilbert y dejar y sean sus subespacios lineales. Luego:
- ;
- Si luego ;
- ;
- ;
- Si es un subespacio lineal cerrado de luego ;
- Si es un subespacio lineal cerrado de luego la suma directa (interna) .
El complemento ortogonal se generaliza al aniquilador y proporciona una conexión de Galois en subconjuntos del espacio interior del producto, con el operador de cierre asociado el cierre topológico del tramo.
Dimensiones finitas
Para un producto interior de dimensión finita espacio de dimensión el complemento ortogonal de un -el subespacio dimensional es un -subespacio dimensional, y el doble complemento ortogonal es el subespacio original:
Si es un matriz, donde y se refieren al espacio de fila , espacio de columna y espacio nulo de (respectivamente), luego
- y [4]
Espacios banach
Existe una analogía natural de esta noción en los espacios de Banach en general . En este caso, se define el complemento ortogonal de W como un subespacio del dual de V definido de manera similar como el aniquilador.
Siempre es un subespacio cerrado de V ∗ . También hay un análogo de la propiedad de doble complemento. W ⊥⊥ es ahora un subespacio de V ∗∗ (que no es idéntico a V ). Sin embargo, los espacios reflexivos tienen un isomorfismo natural i entre V y V ∗∗ . En este caso tenemos
Ésta es una consecuencia bastante directa del teorema de Hahn-Banach .
Aplicaciones
En la relatividad especial, el complemento ortogonal se usa para determinar el hiperplano simultáneo en un punto de una línea del mundo . La forma bilineal η utilizada en el espacio de Minkowski determina un espacio pseudoeuclidiano de eventos. El origen y todos los eventos en el cono de luz son auto-ortogonales. Cuando un evento temporal y un evento espacial se evalúan a cero bajo la forma bilineal, entonces son hiperbólicos-ortogonales . Esta terminología proviene del uso de dos hipérbolas conjugadas en el plano pseudo-euclidiano: los diámetros conjugados de estas hipérbolas son hiperbólico-ortogonales.
Ver también
- Celosía complementada
- Subespacio complementado
- Proyección ortogonal
Referencias
- ^ Adkins y Weintraub (1992) p.359
- ^ Adkins y Weintraub (1992) p.272
- ^ Rudin 1991 , págs. 306-312.
- ^ "Complemento ortogonal"
Bibliografía
- Adkins, William A .; Weintraub, Steven H. (1992), Álgebra: un enfoque a través de la teoría de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , 136 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
- Halmos, Paul R. (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Textos de pregrado en matemáticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
- Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Formas bilineales simétricas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , 73 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
enlaces externos
- Complemento ortogonal ; Minuto 9.00 en el video de Youtube
enlaces externos
- Video instructivo que describe complementos ortogonales (Khan Academy)