En matemáticas , la ecuación de Hill o la ecuación diferencial de Hill es la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden
dónde es una función periódica por período mínimo. Con estos queremos decir que para todos
y si es un número con , la ecuacion debe fallar para algunos . [1] Lleva el nombre de George William Hill , quien lo introdujo en 1886. [2]
Porque tiene período , la ecuación de Hill se puede reescribir usando la serie de Fourier de:
Casos especiales importantes de la ecuación de Hill incluyen la ecuación de Mathieu (en la que solo se incluyen los términos correspondientes an = 0, 1) y la ecuación de Meissner .
La ecuación de Hill es un ejemplo importante en la comprensión de las ecuaciones diferenciales periódicas. Dependiendo de la forma exacta de, las soluciones pueden permanecer limitadas todo el tiempo, o la amplitud de las oscilaciones en las soluciones puede crecer exponencialmente. [3] La forma precisa de las soluciones a la ecuación de Hill es descrita por la teoría de Floquet . Las soluciones también se pueden escribir en términos de determinantes de Hill.
Aparte de su aplicación original a la estabilidad lunar, la ecuación de Hill aparece en muchos entornos, incluido el modelado de un espectrómetro de masas cuadrupolo , como la ecuación unidimensional de Schrödinger de un electrón en un cristal, la óptica cuántica de sistemas de dos niveles y en un acelerador. física .
Referencias
- ^ Magnus, W .; Winkler, S. (2013). Ecuación de Hill . Mensajero. ISBN 9780486150291.
- ^ Hill, GW (1886). "Por parte del movimiento del perigeo lunar que es una función de los movimientos medios del sol y la luna" (PDF) . Acta Math . 8 (1): 1–36. doi : 10.1007 / BF02417081 .
- ^ Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
enlaces externos
- "Ecuación de Hill" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Hill" . MathWorld .
- Wolf, G. (2010), "Funciones de Mathieu y ecuación de Hill" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248