En matemáticas , el adjunto tensor-hom es que el producto tensorial
y hom-functor
formar un par adjunto :
![\ operatorname {Hom} (Y \ otimes X, Z) \ cong \ operatorname {Hom} (Y, \ operatorname {Hom} (X, Z)).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto se hace más preciso a continuación. El orden de los términos en la frase "adjunción tensor-hom" refleja su relación: tensor es el adjunto izquierdo, mientras que hom es el adjunto derecho.
Digamos que R y S son anillos (posiblemente no conmutativos) y considere las categorías de módulo correctas (una declaración análoga se aplica a los módulos de la izquierda):
![{\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Arregle un ( R , S ) -bimódulo X y defina los functores F : D → C y G : C → D de la siguiente manera:
![{\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{for }}Y\in {\mathcal {D}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{for }}Z\in {\mathcal {C}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces F se deja adjunto a G . Esto significa que hay un isomorfismo natural.
![\operatorname {Hom}_{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom}_{R}(Y,\operatorname {Hom}_{S}(X,Z)).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En realidad, esto es un isomorfismo de grupos abelianos . Más precisamente, si Y es un bimódulo ( A , R ) y Z es un bimódulo ( B , S ), entonces este es un isomorfismo de los bimódulos ( B , A ). Este es uno de los ejemplos motivadores de la estructura en una bicategoría cerrada . [1]
Como todas las adjunciones, la adjunción tensor-hom se puede describir por su cuenta y transformaciones naturales unitarias . Usando la notación de la sección anterior, el contador
![\varepsilon :FG\to 1_{{{\mathcal {C}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tiene componentes
![\varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom}_{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dado por evaluación: Para
![\phi \in \operatorname {Hom}_{R}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los componentes de la unidad
![\eta :1_{{{\mathcal {D}}}}\to GF](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom}_{S}(X,Y\otimes _{R}X)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se definen de la siguiente manera: Para y en Y ,
![\eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom}_{S}(X,Y\otimes _{R}X)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un homomorfismo del módulo S derecho dado por
![\eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{for }}t\in X.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las ecuaciones de cuenta y unidad ahora se pueden verificar explícitamente. Para Y en C ,
![{\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se da en tensores simples de Y ⊗ X por
![\varepsilon _{{FY}}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Igualmente,
![G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{{GZ}}:\operatorname {Hom}_{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom}_{S}(X,\operatorname {Hom}_{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom}_{S}(X,Z).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para φ en Hom S ( X , Z ),
![G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{{GZ}}(\phi )](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un homomorfismo del módulo S derecho definido por
![G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{{GZ}}(\phi )(x)=\varepsilon _{{Z}}(\phi \otimes x)=\phi (x)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y por lo tanto
![G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{{GZ}}(\phi )=\phi .](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)