El principio máximo de Hopf es un principio máximo en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden y ha sido descrito como el "resultado clásico y fundamental" de esa teoría. Generalizando el principio máximo para funciones armónicas que ya conocía Gauss en 1839, Eberhard Hopf demostró en 1927 que si una función satisface una desigualdad diferencial parcial de segundo orden de cierto tipo en un dominio de R n y alcanza un máximoen el dominio entonces la función es constante. La simple idea detrás de la demostración de Hopf, la técnica de comparación que introdujo para este propósito, ha dado lugar a una enorme variedad de aplicaciones y generalizaciones importantes.
Formulación matemática
Sea u = u ( x ), x = ( x 1 ,…, x n ) una función C 2 que satisface la desigualdad diferencial
en un dominio abierto (subconjunto abierto conectado de R n ) Ω, donde la matriz simétrica a ij = a ji ( x ) es localmente uniformemente definida positiva en Ω y los coeficientes a ij , b i están localmente acotados . Si T tiene un valor máximo M en Ω entonces u ≡ M .
Los coeficientes a ij , b i son solo funciones. Si se sabe que son continuos, entonces es suficiente exigir una definición positiva puntual de a ij en el dominio.
Por lo general, se piensa que el principio del máximo de Hopf se aplica sólo a lineal operadores diferenciales L . En particular, este es el punto de vista adoptado por Courant y Hilbert's Methoden der mathischen Physik . Sin embargo, en las últimas secciones de su artículo original, Hopf consideró una situación más general que permite ciertos operadores no lineales L y, en algunos casos, conduce a enunciados de unicidad en el problema de Dirichlet para el operador de curvatura media y la ecuación de Monge-Ampère .
Comportamiento de frontera
Si el dominio Ω tiene la propiedad de esfera interior (por ejemplo, si Ω tiene un límite suave), se puede decir un poco más. Si además de los supuestos anteriores,y u tiene un valor máximo M en un punto x 0 en, entonces para cualquier dirección hacia afuera ν en x 0 , se mantienea menos de u ≡ M . [1]
Referencias
- ^ Han, Qing; Lin, Fanghua (2011). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas . American Mathematical Soc. pag. 28. ISBN 9780821853139.
- Hopf, Eberhard (2002), Morawetz, Cathleen S .; Serrin, James B .; Sinai, Yakov G. (eds.), Obras seleccionadas de Eberhard Hopf con comentarios , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2077-X, Señor 1985954.
- Pucci, Patrizia; Serrin, James (2004), "El principio máximo fuerte revisitado", Journal of Differential Equations , 196 (1): 1-66, Bibcode : 2004JDE ... 196 .... 1P , doi : 10.1016 / j.jde. 2003.05.001 , MR 2025185.