En matemáticas , un problema de Dirichlet es el problema de encontrar una función que resuelva una ecuación diferencial parcial especificada (PDE) en el interior de una región dada que tome valores prescritos en el límite de la región.
El problema de Dirichlet se puede resolver para muchas PDE, aunque originalmente se planteó para la ecuación de Laplace . En ese caso, el problema se puede plantear de la siguiente manera:
- Dada una función f que tiene valores en todas partes en el límite de una región en R n , ¿existe una función continua única u dos veces diferenciable continuamente en el interior y continua en el límite, tal que u es armónica en el interior y u = f en ¿EL limite?
Este requisito se denomina condición de límite de Dirichlet . El problema principal es probar la existencia de una solución; la unicidad se puede demostrar utilizando el principio máximo .
Historia
El problema de Dirichlet se remonta a George Green , quien estudió el problema en dominios generales con condiciones generales de contorno en su Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo , publicado en 1828. Redujo el problema a un problema de construcción lo que ahora llamamos funciones de Green , y argumentó que la función de Green existe para cualquier dominio. Sus métodos no eran rigurosos para los estándares actuales, pero las ideas fueron muy influyentes en los desarrollos posteriores. Los siguientes pasos en el estudio del problema de Dirichlet fueron tomados por Karl Friedrich Gauss , William Thomson ( Lord Kelvin ) y Peter Gustav Lejeune Dirichlet , que dio nombre al problema, y la solución al problema (al menos para la pelota) usando la Poisson núcleo era conocido por Dirichlet (1850 a juzgar por su artículo enviado a la Academia de Prusia). Lord Kelvin y Dirichlet sugirieron una solución al problema mediante un método variacional basado en la minimización de la "energía de Dirichlet". Según Hans Freudenthal (en el Dictionary of Scientific Biography , vol. 11), Bernhard Riemann fue el primer matemático que resolvió este problema variacional basado en un método al que llamó principio de Dirichlet . La existencia de una solución única es muy plausible según el "argumento físico": cualquier distribución de carga en la frontera debería, según las leyes de la electrostática , determinar un potencial eléctrico como solución. Sin embargo, Karl Weierstrass encontró una falla en el argumento de Riemann, y una prueba rigurosa de existencia fue encontrada solo en 1900 por David Hilbert , usando su método directo en el cálculo de variaciones . Resulta que la existencia de una solución depende delicadamente de la suavidad del límite y los datos prescritos.
Solución general
Por un dominio tener un límite suficientemente suave , la solución general al problema de Dirichlet viene dada por
dónde es la función de Green para la ecuación diferencial parcial, y
es la derivada de la función de Green a lo largo del vector normal unitario que apunta hacia adentro . La integración se realiza en el límite, con medida . La funciónviene dada por la solución única de la ecuación integral de Fredholm del segundo tipo,
La función de Green que se utilizará en la integral anterior es una que desaparece en el límite:
por y . La función de Green de este tipo suele ser una suma de la función de Green de campo libre y una solución armónica de la ecuación diferencial.
Existencia
El problema de Dirichlet para funciones armónicas siempre tiene una solución, y esa solución es única, cuando el límite es lo suficientemente suave y uniforme. es continuo. Más precisamente, tiene una solución cuando
para algunos , dónde denota la condición de Hölder .
Ejemplo: el disco unitario en dos dimensiones
En algunos casos simples, el problema de Dirichlet se puede resolver explícitamente. Por ejemplo, la solución al problema de Dirichlet para el disco unitario en R 2 viene dada por la fórmula integral de Poisson .
Si es una función continua en el límite del disco de la unidad abierta , entonces la solución al problema de Dirichlet es dada por
La solución es continuo en el disco de la unidad cerrada y armónico en
El integrando se conoce como núcleo de Poisson ; esta solución se deriva de la función de Green en dos dimensiones:
dónde es armónica () y elegido de tal manera que por .
Métodos de solución
Para dominios delimitados, el problema de Dirichlet se puede resolver utilizando el método Perron , que se basa en el principio máximo para funciones subarmónicas . Este enfoque se describe en muchos libros de texto. [1] No es adecuado para describir la uniformidad de las soluciones cuando el límite es uniforme. Otro enfoque clásico del espacio de Hilbert a través de los espacios de Sobolev proporciona tal información. [2] La solución del problema de Dirichlet usando espacios de Sobolev para dominios planos puede usarse para probar la versión suave del teorema de mapeo de Riemann . Bell (1992) ha esbozado un enfoque diferente para establecer el teorema de mapeo suave de Riemann, basado en los núcleos reproductores de Szegő y Bergman, y a su vez lo utilizó para resolver el problema de Dirichlet. Los métodos clásicos de la teoría del potencial permiten resolver el problema de Dirichlet directamente en términos de operadores integrales , para lo cual es aplicable la teoría estándar de operadores compactos y de Fredholm . Los mismos métodos funcionan igualmente para el problema de Neumann . [3]
Generalizaciones
Los problemas de Dirichlet son típicos de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y la teoría del potencial , y la ecuación de Laplace en particular. Otros ejemplos incluyen la ecuación biarmónica y ecuaciones relacionadas en la teoría de la elasticidad .
Son uno de varios tipos de clases de problemas de PDE definidos por la información proporcionada en el límite, incluidos los problemas de Neumann y los problemas de Cauchy .
Ejemplo: ecuación de una cuerda finita unida a una pared móvil
Considere el problema de Dirichlet para la ecuación de onda que describe una cuerda unida entre paredes con un extremo unido permanentemente y el otro moviéndose con velocidad constante, es decir, la ecuación de d'Alembert en la región triangular del producto cartesiano del espacio y el tiempo:
Como se puede comprobar fácilmente mediante sustitución, la solución que cumple la primera condición es
Además queremos
Sustituyendo
obtenemos la condición de auto-semejanza
dónde
Se cumple, por ejemplo, por la función compuesta
con
así en general
dónde es una función periódica con un período:
y obtenemos la solución general
Notas
- ^ Ver por ejemplo:
- Juan 1982
- Bers, John y Schechter 1979
- Greene y Krantz 2006
- ^ Ver por ejemplo:
- Bers, John y Schechter 1979
- Chazarain y Piriou 1982
- Taylor 2011
- ^ Ver:
- Folland 1995
- Bers, John y Schechter 1979
Referencias
- A. Yanushauskas (2001) [1994], "Problema de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- SG Krantz, El problema de Dirichlet . §7.3.3 en el Manual de variables complejas . Boston, MA: Birkhäuser, pág. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 .
- S. Axler , P. Gorkin , K. Voss, El problema de Dirichlet sobre superficies cuadráticas , Matemáticas de Computación 73 (2004), 637–651.
- Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4.
- Gérard, Patrick; Leichtnam, Éric : Propiedades ergódicas de funciones propias para el problema de Dirichlet. Duke Math. J. 71 (1993), núm. 2, 559–607.
- John, Fritz (1982), Ecuaciones diferenciales parciales , Ciencias Matemáticas Aplicadas, 1 (4a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
- Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Ecuaciones diferenciales parciales, con suplementos de Lars Gȧrding y AN Milgram , Lectures in Applied Mathematics, 3A , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0049-3.
- Agmon, Shmuel (2010), Conferencias sobre problemas de valores de límites elípticos , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4910-7
- Stein, Elias M. (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones , Princeton University Press.
- Greene, Robert E .; Krantz, Steven G. (2006), Teoría de la función de una variable compleja , Estudios de posgrado en matemáticas , 40 (3.a ed.), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3962-4.
- Taylor, Michael E. (2011), Ecuaciones diferenciales parciales I.Teoría básica , Ciencias Matemáticas Aplicadas, 115 (2a ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1.
- Zimmer, Robert J. (1990), Resultados esenciales del análisis funcional , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-98337-4.
- Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2a ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2.
- Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Introducción a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales lineales , Estudios de matemáticas y sus aplicaciones, 14 , Elsevier, ISBN 0444864520.
- Bell, Steven R. (1992), La transformada de Cauchy, teoría potencial y mapeo conforme , Estudios en Matemáticas Avanzadas, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X.
- Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentiras , Textos de posgrado en matemáticas, 94 , Springer, ISBN 0387908943.
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Interscience, ISBN 0471050598.
- Courant, R. (1950), Principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas , Interscience.
- Schiffer, M .; Hawley, NS (1962), "Conexiones y mapeo conforme", Acta Math. , 107 : 175–274, doi : 10.1007 / bf02545790
enlaces externos
- "Problema de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Problema de Dirichlet" . MathWorld .