En matemáticas , en el estudio de los fractales , un operador de Hutchinson [1] es la acción colectiva de un conjunto de contracciones, llamado sistema de función iterada . [2] La iteración del operador converge en un atractor único , que es el conjunto fijo del operador a menudo auto-similar .
Definición
Dejar ser un sistema de funciones iteradas , o un conjunto de contracciones de un conjunto compacto a sí mismo. El operador se define sobre subconjuntos como
Una pregunta clave es describir los atractores de este operador, que son conjuntos compactos. Una forma de generar un conjunto de este tipo es comenzar con un conjunto compacto inicial (que puede ser un solo punto, llamado semilla) e iterar como sigue
y tomando el límite, la iteración converge al atractor
Propiedades
Hutchinson demostró en 1981 la existencia y unicidad del atractor. . La prueba sigue mostrando que el operador de Hutchinson es contractivo en el conjunto de subconjuntos compactos deen la distancia de Hausdorff .
La colección de funciones junto con la composición forman un monoide . Con funciones N , entonces uno puede visualizar el monoide como un árbol N-ario completo o un árbol Cayley .
Referencias
- ^ Hutchinson, John E. (1981). "Fractales y auto semejanza" . Indiana Univ. Matemáticas. J . 30 (5): 713–747. doi : 10.1512 / iumj.1981.30.30055 .
- ^ Barnsley, Michael F .; Stephen Demko (1985). "Sistemas de funciones iteradas y la construcción global de fractales". Actas de la Royal Society of London A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 399 (1817): 243–275.