En matemáticas , un mapeo de contracción , o contracción o contratista , en un espacio métrico ( M , d ) es una función f de M a sí misma, con la propiedad de que existe algún número real no negativo. tal que para todo x y y en M ,
El valor más pequeño de k se llama constante de Lipschitz de f . Los mapas contractuales a veces se denominan mapas de Lipschitz . Si, en cambio, se satisface la condición anterior para k ≤ 1, entonces se dice que el mapeo es un mapa no expansivo .
De manera más general, la idea de un mapeo contractivo se puede definir para mapas entre espacios métricos. Por tanto, si ( M , d ) y ( N , d ' ) son dos espacios métricos, entonces es un mapeo contractivo si hay una constante tal que
para todos los x y y en M .
Cada mapeo de contracción es Lipschitz continuo y, por lo tanto, uniformemente continuo (para una función continua de Lipschitz, la constante k ya no es necesariamente menor que 1).
Un mapeo de contracciones tiene como máximo un punto fijo . Además, el teorema del punto fijo de Banach establece que todo mapeo de contracción en un espacio métrico completo no vacío tiene un punto fijo único, y que para cualquier x en M la secuencia de función iterada x , f ( x ), f ( f ( x )), f ( f ( f ( x ))), ... converge al punto fijo. Este concepto es muy útil para sistemas de funciones iteradas donde a menudo se usan mapeos de contracción. El teorema del punto fijo de Banach también se aplica para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y se usa en una prueba del teorema de la función inversa . [1]
Los mapeos de contracción juegan un papel importante en los problemas de programación dinámica . [2] [3]
Mapeo firmemente no expansivo
Un mapeo no expansivo con se puede fortalecer a un mapeo firmemente no expansivo en un espacio de Hilbert si se cumple lo siguiente para todos x y y en:
dónde
- .
Este es un caso especial de operadores no expansivos promediados con . [4] Un mapeo firmemente no expansivo es siempre no expansivo, a través de la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
La clase de mapas firmemente no expansivos se cierra bajo combinaciones convexas , pero no composiciones. [5] Esta clase incluye mapeos proximales de funciones adecuadas, convexas y semicontinuas inferiores, por lo que también incluye proyecciones ortogonales sobre conjuntos convexos cerrados no vacíos . La clase de operadores firmemente no expansivos es igual al conjunto de solventes de los operadores máximamente monótonos . [6] Sorprendentemente, mientras que iterar mapas no expansivos no garantiza encontrar un punto fijo (por ejemplo, multiplicar por -1), la no expansividad firme es suficiente para garantizar la convergencia global a un punto fijo, siempre que exista un punto fijo. Más precisamente, si, luego para cualquier punto inicial , iterando
produce convergencia a un punto fijo . Esta convergencia podría ser débil en un entorno de dimensión infinita. [5]
Mapa de subcontratación
Un mapa de subcontratación o subcontratista es un mapa f en un espacio métrico ( M , d ) tal que
Si la imagen de un subcontratista f es compacta , entonces f tiene un punto fijo. [7]
Espacios localmente convexos
En un espacio localmente convexo ( E , P ) con topología dada por un conjunto P de seminormas , se puede definir para cualquier p ∈ P a p -contracción como un mapa f tal que haya algún k p <1 tal que p ( f ( x ) - f ( y )) ≤ k p p ( x - y ) . Si f es una p -contracción para todo p ∈ P y ( E , P ) se completa secuencialmente, entonces f tiene un punto fijo, dado como límite de cualquier secuencia x n +1 = f ( x n ), y si ( E , P ) es Hausdorff , entonces el punto fijo es único. [8]
Ver también
Referencias
- ^ Shifrin, Theodore (2005). Matemáticas multivariables . Wiley. págs. 244-260. ISBN 978-0-471-52638-4.
- ^ Denardo, Eric V. (1967). "Mapeos de contracción en la teoría subyacente a la programación dinámica". Revisión SIAM . 9 (2): 165-177. Código bibliográfico : 1967SIAMR ... 9..165D . doi : 10.1137 / 1009030 .
- ^ Stokey, Nancy L .; Lucas, Robert E. (1989). Métodos recursivos en dinámica económica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Harvard. págs. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8.
- ^ Combettes, Patrick L. (2004). "Resolver inclusiones monótonas a través de composiciones de operadores promediados no expansivos". Optimización . 53 (5–6): 475–504. doi : 10.1080 / 02331930412331327157 .
- ^ a b Bauschke, Heinz H. (2017). Análisis convexo y teoría del operador monótono en espacios de Hilbert . Nueva York: Springer.
- ^ Combettes, Patrick L. (julio de 2018). "Teoría del operador monótono en optimización convexa". Programación matemática . B170 : 177–206. arXiv : 1802.02694 . Código bibliográfico : 2018arXiv180202694C . doi : 10.1007 / s10107-018-1303-3 . S2CID 49409638 .
- ^ Goldstein, AA (1967). Análisis real constructivo . Serie de Harper en matemáticas modernas. Nueva York-Evanston-Londres: Harper and Row. pag. 17. Zbl 0189.49703 .
- ^ Cain, GL, Jr .; Nashed, MZ (1971). "Puntos fijos y estabilidad para una suma de dos operadores en espacios localmente convexos" . Pacific Journal of Mathematics . 39 (3): 581–592. doi : 10.2140 / pjm.1971.39.581 .
Otras lecturas
- Istratescu, Vasile I. (1981). Teoría del punto fijo: una introducción . Holanda: D. Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0. proporciona una introducción a nivel de pregrado.
- Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teoría del punto fijo . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
- Kirk, William A .; Sims, Brailey (2001). Manual de teoría del punto fijo métrico . Londres: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
- Naylor, Arch W .; Sell, George R. (1982). Teoría del operador lineal en ingeniería y ciencia . Ciencias Matemáticas Aplicadas. 40 (Segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 125-134. ISBN 978-0-387-90748-2.