Una espiral hiperbólica es una curva plana , que se puede describir en coordenadas polares mediante la ecuación
de una hipérbola . Debido a que puede ser generado por una inversión circular de una espiral de Arquímedes , también se le llama espiral recíproca . [1] [2]
Pierre Varignon estudió la curva por primera vez en 1704. [2] Posteriormente, Johann Bernoulli y Roger Cotes también trabajaron en la curva.
En coordenadas cartesianas
la espiral hiperbólica con la ecuación polar
se puede representar en coordenadas cartesianas ( x = r cos φ , y = r sin φ ) por
La hipérbola tiene en el plano rφ los ejes de coordenadas como asíntotas. La espiral hiperbólica (en el plano xy ) se aproxima para φ → ± ∞ al origen como punto asintótico. Para φ → ± 0, la curva tiene una línea asintótica (consulte la siguiente sección).
De la ecuación polar y φ =a/r, r = √ x 2 + y 2 se obtiene una representación mediante una ecuación :
Propiedades geométricas
Asíntota
Porque
la curva tiene una asíntota con la ecuación y = a .
Pendiente polar
Del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula tan α = r ′/rpara la pendiente polar y su ángulo α entre la tangente de una curva y la tangente del círculo polar correspondiente.
Para la espiral hiperbólica r = a/φla pendiente polar es
Curvatura
La curvatura de una curva con ecuación polar r = r ( φ ) es
De la ecuación r = a/φy las derivadas r ′ = - a/φ 2y r ″ = 2 a/φ 3se obtiene la curvatura de una espiral hiperbólica:
Longitud de arco
La longitud del arco de una espiral hiperbólica entre ( r ( φ 1 ), φ 1 ) y ( r ( φ 2 ), φ 2 ) se puede calcular mediante la integral:
Área del sector
El área de un sector (ver diagrama anterior) de una espiral hiperbólica con ecuación r = a/φ es:
Inversión
La inversión en el círculo unitario tiene en coordenadas polares la descripción simple: ( r , φ ) ↦ ( 1/r, φ ) .
La imagen de una espiral de Arquímedes r = φ/acon una inversión de círculo es la espiral hiperbólica con la ecuación r = a/φ. En φ = a, las dos curvas se intersecan en un punto fijo del círculo unitario.
El círculo osculador de la espiral de Arquímedes r = φ/aen el origen tiene radio ρ 0 = 1/2 a(ver espiral de Arquímedes ) y centro ( 0 , ρ 0 ) . La imagen de este círculo es la línea y = a (ver inversión del círculo ). De ahí que la preimagen de la asíntota de la espiral hiperbólica con la inversión de la espiral de Arquímedes sea el círculo osculante de la espiral de Arquímedes en el origen.
- Ejemplo: el diagrama muestra un ejemplo con a = π .
Proyección central de una hélice
Considere la proyección central desde el punto C 0 = (0, 0, d ) sobre el plano de la imagen z = 0 . Esto mapeará un punto ( x , y , z ) al puntoD/d - z( x , y ) .
La imagen bajo esta proyección de la hélice con representación paramétrica
es la curva
con la ecuación polar
que describe una espiral hiperbólica.
Para el parámetro t 0 = D/Cla espiral hiperbólica tiene un polo y la hélice interseca el plano z = d en un punto V 0 . Se puede comprobar mediante cálculo que la imagen de la hélice cuando se acerca a V 0 es la asíntota de la espiral hiperbólica.
Referencias
- ^ Bowser, Edward Albert (1880), Un tratado elemental sobre geometría analítica: Abrazar la geometría plana y una introducción a la geometría de tres dimensiones (4ª ed.), D. Van Nostrand, p. 232
- ^ a b Lawrence, J. Dennis (2013), Un catálogo de curvas planas especiales , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 186, ISBN 9780486167664.
- Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs: matemático Taschenbuch Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler , Carl Hanser Verlag, 2018, ISBN 3446457070 , 9783446457072, S. 410.
- Kinko Tsuji, Stefan C. Müller: Espirales y vórtices: en cultura, naturaleza y ciencia , Springer, 2019, ISBN 3030057984 , 9783030057985, S. 96.
- Pierre Varignon: Nouvelle training de Spirales - ejemplo II , Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France, 1704, págs. 94-103.
- Friedrich Grelle : Analytische Geometrie der Ebene , Verlag F. Brecke, 1861 hyperbolische Spirale , S. 215.
- Jakob Philipp Kulik : Lehrbuch der höhern Analysis, Band 2 , In Commiss. bei Kronberger u. Rziwnatz, 1844, Spirallinien , S. 222.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Espiral hiperbólica" . MathWorld .
- Exploración en línea usando JSXGraph (JavaScript)
- Página "espiral hiperbólica" de 2dcurves