En geometría diferencial de curvas , el círculo osculante de una curva plana suficientemente suave en un punto dado p de la curva se ha definido tradicionalmente como el círculo que pasa por py un par de puntos adicionales en la curva infinitesimalmente cercanos a p . Su centro se encuentra en la línea normal interna y su curvatura define la curvatura de la curva dada en ese punto. Este círculo, que es el de todos los círculos tangentes en el punto dado que se acerca más a la curva, fue denominado circulus osculans (en latín, "círculo de besos") porLeibniz .
El centro y el radio del círculo osculante en un punto dado se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. Isaac Newton describió una construcción geométrica en sus Principia :
Dándose, en cualquier lugar, la velocidad con la que un cuerpo describe una figura dada, por medio de fuerzas dirigidas a algún centro común: encontrar ese centro.
- Isaac Newton, Principia ; PROPUESTA V. PROBLEMA I.
Descripción no técnica
Imagínese un automóvil que se mueve por una carretera con curvas en un gran plano. De repente, en un punto de la carretera, el volante se bloquea en su posición actual. A partir de entonces, el automóvil se mueve en un círculo que "besa" la carretera en el punto de bloqueo. La curvatura del círculo es igual a la de la carretera en ese punto. Ese círculo es el círculo osculador de la curva de la carretera en ese punto.
Descripción matemática
Sea γ ( s ) una curva plana paramétrica regular , donde s es la longitud del arco (el parámetro natural ). Esto determina el vector tangente unitario T ( s ), el vector normal unitario N ( s ), la curvatura con signo k ( s ) y el radio de curvatura R ( s ) en cada punto para el que se compone s :
Suponga que P es un punto en γ donde k ≠ 0. El centro de curvatura correspondiente es el punto Q a la distancia R a lo largo de N , en la misma dirección si k es positiva y en la dirección opuesta si k es negativa. El círculo con centro en Q y con un radio R se llama el círculo osculating a la curva γ en el punto P .
Si C es una curva en el espacio regular entonces el círculo osculador se define de forma similar, utilizando el vector normal principal N . Se encuentra en el plano osculador , el plano formado por la tangente y principales vectores normales T y N en el punto P .
La curva plana también se puede dar en una parametrización regular diferente
donde regular significa que para todos . Entonces las fórmulas para la curvatura con signo k ( t ), el vector unitario normal N ( t ), el radio de curvatura R ( t ) y el centro Q ( t ) del círculo osculante son
Coordenadas cartesianas
Podemos obtener el centro del círculo osculante en coordenadas cartesianas si sustituimos t = x e y = f ( x ) por alguna función f . Si hacemos los cálculos, los resultados para las coordenadas X e Y del centro del círculo osculador son:
Propiedades
Para una curva C dada por un suficientemente lisa ecuaciones paramétricas (dos veces continuamente diferenciable), el círculo osculador se puede obtener por un procedimiento de limitación: es el límite de los círculos que pasan a través de tres puntos distintos en C como estos puntos se acercan a P . [2] Esto es totalmente análoga a la construcción de la tangente a una curva como un límite de las líneas secantes a través de pares de puntos distintos en C acercarse P .
El círculo osculador S a una curva plana C en un punto regular P se puede caracterizar por las siguientes propiedades:
- El círculo S pasa a través de P .
- El círculo S y la curva C tienen la línea tangente común en P y, por lo tanto, la línea normal común.
- Cerca de P , la distancia entre los puntos de la curva C y el círculo S en la dirección normal decae a medida que el cubo o una potencia mayor de la distancia a P en la dirección tangencial.
Esto se expresa por lo general como "la curva y su círculo osculador tienen la segunda o de orden superior de contacto " en P . Hablando sin apretar, las funciones vectoriales que representan C y S de acuerdo junto con sus primeras y segundas derivadas en P .
Si la derivada de la curvatura con respecto a s es distinto de cero en P , entonces el círculo osculador cruza la curva C en P . Los puntos P en los que la derivada de la curvatura es cero se denominan vértices . Si P es un vértice, entonces C y su círculo osculador tienen un contacto de orden de al menos tres. Si, además, la curvatura tiene un máximo o mínimo local distinto de cero en P, entonces el círculo osculador toca la curva C en P pero no la cruza.
La curva C puede obtenerse como la envolvente de la familia de un parámetro de sus círculos osculantes. Sus centros, es decir, los centros de curvatura, forman otra curva, llamado el evolute de C . Los vértices de C corresponden a puntos singulares en su evoluta.
Dentro de cualquier arco de una curva C dentro de la cual la curvatura es monótona (es decir, lejos de cualquier vértice de la curva), los círculos osculantes son todos disjuntos y anidados entre sí. Este resultado se conoce como teorema de Tait-Kneser . [1]
Ejemplos de
Parábola
Por la parábola
el radio de curvatura es
En el vértice el radio de curvatura es igual a R (0) = 0.5 (ver figura). La parábola tiene contacto de cuarto orden con su círculo osculador allí. Para t grande, el radio de curvatura aumenta ~ t 3 , es decir, la curva se endereza cada vez más.
Curva de Lissajous
Una curva de Lissajous con una relación de frecuencias (3: 2) se puede parametrizar de la siguiente manera
Tiene curvatura con signo k ( t ), vector unitario normal N ( t ) y radio de curvatura R ( t ) dado por
y
Consulte la figura para ver una animación. Allí, el "vector de aceleración" es la segunda derivada.con respecto a la longitud del arco s .
Cicloide
Una cicloide con radio r se puede parametrizar de la siguiente manera:
Su curvatura viene dada por la siguiente fórmula: [3]
lo que da:
Ver también
Notas
- ^ a b Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergei ; Timorín, Vladlen (2013). "Curvas osculantes: alrededor del teorema de Tait-Kneser". El inteligente matemático . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi : 10.1007 / s00283-012-9336-6 . Señor 3041992 . S2CID 18183204 .
- ^ En realidad, el punto P más dos puntos adicionales, uno a cada lado de P, servirá. Ver Lamb (en línea): Horace Lamb (1897). Un curso elemental de cálculo infinitesimal . Prensa Universitaria. pag. 406 .
círculo osculante.
- ^ Weisstein, Eric W. "Cicloide" . MathWorld .
Otras lecturas
Para algunas notas históricas sobre el estudio de la curvatura, consulte
- Grattan-Guinness y HJM Bos (2000). Del cálculo a la teoría de conjuntos 1630-1910: una historia introductoria . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 72. ISBN 0-691-07082-2.
- Roy Porter, editor (2003). La Historia de la Ciencia de Cambridge: v4 - Ciencia del siglo XVIII . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 313. ISBN 0-521-57243-6.
Para la aplicación a vehículos de maniobra, consulte
- JC Alexander y JH Maddocks (1988): Sobre la maniobra de vehículos doi : 10.1137 / 0148002
- Murray S. Klamkin (1990). Problemas en matemáticas aplicadas: selecciones de la revisión SIAM . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. pag. 1. ISBN 0-89871-259-9.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Círculo osculante" . MathWorld .
- math3d: osculating_circle