En el análisis no estándar , una rama de las matemáticas , un conjunto hiperfinito o un conjunto * -finito es un tipo de conjunto interno . Un conjunto interno H de cardinalidad interna g ∈ * N (los hypernaturals ) es hyperfinite si y sólo si existe un interna biyección entre G = {1,2,3, ..., g } y H . [1] [2]Los conjuntos hiperfinitos comparten las propiedades de los conjuntos finitos: un conjunto hiperfinito tiene elementos mínimos y máximos, y se puede derivar una unión hiperfinita de una colección hiperfinita de conjuntos hiperfinitos. La suma de los elementos de cualquier subconjunto hiperfinito de * R siempre existe, lo que conduce a la posibilidad de una integración bien definida . [2]
Los conjuntos hiperfinitos se pueden utilizar para aproximar otros conjuntos. Si un conjunto hiperfinito se aproxima a un intervalo, se denomina intervalo cercano con respecto a ese intervalo. Considere un conjunto hiperfinitocon un n hipernatural . K es un intervalo cercano para [ a , b ] si k 1 = a y k n = b , y si la diferencia entre los elementos sucesivos de K es infinitesimal . Expresado de otra manera, el requisito es que para cada r ∈ [ a , b ] hay un k i ∈ K tal que k i ≈ r . Esto, por ejemplo, permite una aproximación al círculo unitario , considerado como el conjuntopara θ en el intervalo [0,2π]. [2]
En general, los subconjuntos de conjuntos hiperfinitos no son hiperfinitos, a menudo porque no contienen los elementos extremos del conjunto padre. [3]
Construcción ultrapotencia
En términos de la construcción de ultrapotencia , la línea hiperreal * R se define como la colección de clases de equivalencia de secuenciasde números reales u n . Es decir, la clase de equivalencia define un hiperreal, denotadoen la notación de Goldblatt. De manera similar, un conjunto hiperfinito arbitrario en * R tiene la forma, y está definido por una secuencia de conjuntos finitos [4]
Notas
- ^ JE Rubio (1994). Optimización y análisis no estándar . Marcel Dekker. pag. 110. ISBN 0-8247-9281-5.
- ^ a b c R. Chuaqui (1991). Verdad, posibilidad y probabilidad: nuevos fundamentos lógicos de probabilidad e inferencia estadística . Elsevier. págs. 182 –3. ISBN 0-444-88840-3.
- ^ L. Ambrosio ; et al. (2000). Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales: temas sobre problemas de evolución geométrica y teoría de grados . Saltador. pag. 203 . ISBN 3-540-64803-8.
- ^ Rob Goldblatt (1998). Conferencias sobre los hiperrealistas. Una introducción al análisis no estándar . Saltador. pag. 188 . ISBN 0-387-98464-X.
enlaces externos
- M. Insall. "Conjunto hiperfinito" . MathWorld .