El ultraproducto es una construcción matemática que aparece principalmente en el álgebra abstracta y la lógica matemática , en particular en la teoría de modelos y la teoría de conjuntos . Un ultraproducto es un cociente del producto directo de una familia de estructuras . Todos los factores deben tener la misma firma . La ultrapotencia es el caso especial de esta construcción en la que todos los factores son iguales.
Por ejemplo, los ultrapoderes se pueden utilizar para construir nuevos campos a partir de campos determinados. Los números hiperrealistas , un ultrapoder de los números reales , son un caso especial de esto.
Algunas aplicaciones sorprendentes de los ultraproductos incluyen demostraciones muy elegantes del teorema de la compacidad y el teorema de la completitud , el teorema de la ultrapotencia de Keisler , que da una caracterización algebraica de la noción semántica de equivalencia elemental, y la presentación de Robinson-Zakon del uso de superestructuras y su monomorfismos para construir modelos de análisis no estándar, lo que llevó al crecimiento del área de análisis no estándar , que fue pionera (como una aplicación del teorema de compacidad) por Abraham Robinson .
Definición
El método general para conseguir ultraproductos utiliza un conjunto de índices I , una estructura M i para cada elemento i de I (todos de la misma firma ), y un ultrafiltro U en I . Se suele considerar esto en el caso de que I sea infinito y U contenga todos los subconjuntos cofinitos de I , es decir, U no es un ultrafiltro principal . En el caso principal, el ultraproducto es isomorfo a uno de los factores.
Operaciones algebraicas sobre el producto cartesiano
se definen puntualmente (por ejemplo, para una función binaria +, ( a + b ) i = a i + b i ), y una relación de equivalencia está definida por a ~ b si
y el ultraproducto es el cociente establecido con respecto a ~. Por lo tanto, el ultraproducto a veces se denota por
Se puede definir una medida m finitamente aditiva en el conjunto de índices I diciendo m ( A ) = 1 si A ∈ U y = 0 en caso contrario. Entonces, dos miembros del producto cartesiano son equivalentes precisamente si son iguales en casi todas partes del conjunto de índices. El ultraproducto es el conjunto de clases de equivalencia así generado.
Otras relaciones se pueden ampliar de la misma forma:
donde [ a ] denota la clase de equivalencia de a con respecto a ~.
En particular, si cada M i es un campo ordenado , entonces también lo es el ultraproducto.
Un ultrapower es un ultraproducto para el que todos los factores M i son iguales:
De manera más general, la construcción anterior se puede llevar a cabo siempre que U sea un filtro en I ; el modelo resultanteentonces se denomina producto reducido .
Ejemplos de
Los números hiperreales son el ultraproducto de una copia de los números reales para cada número natural, con respecto a un ultrafiltro sobre los números naturales que contienen todos los conjuntos de cofinitas. Su orden es la extensión del orden de los números reales. Por ejemplo, la secuencia ω dada por ω i = i define una clase de equivalencia que representa un número hiperreal que es mayor que cualquier número real.
Análogamente, se puede definir números enteros no estándar , números complejos no estándar , etc., mediante la adopción de la ultraproducto de copias de las estructuras correspondientes.
Como ejemplo de transferencia de relaciones al ultraproducto, considere la secuencia ψ definida por ψ i = 2 i . Como ψ i > ω i = i para todo i , se deduce que la clase de equivalencia de ψ i = 2 i es mayor que la clase de equivalencia de ω i = i , por lo que puede interpretarse como un número infinito que es mayor que el construido originalmente. Sin embargo, sea χ i = i para i no igual a 7, pero χ 7 = 8. El conjunto de índices en los que ω y χ concuerdan es miembro de cualquier ultrafiltro (porque ω y χ concuerdan en casi todas partes), entonces ω y χ pertenecen a la misma clase de equivalencia.
En la teoría de los grandes cardenales , una construcción estándar es tomar el ultraproducto de todo el universo de la teoría de conjuntos con respecto a algún ultrafiltro U cuidadosamente elegido . Las propiedades de este ultrafiltro U tienen una fuerte influencia en las propiedades (de orden superior) del ultraproducto; por ejemplo, si U es σ -completo, entonces el ultraproducto volverá a estar bien fundado. (Ver cardinal medible para el ejemplo prototípico).
Teorema de Łoś
El teorema de Łoś, también llamado teorema fundamental de los ultraproductos , se debe a Jerzy Łoś (el apellido se pronuncia[ˈWɔɕ] , aproximadamente "lavar"). Se establece que cualquier primer orden fórmula es cierto en el ultraproducto si y sólo si el conjunto de índices i de tal manera que la fórmula es cierto en M i es miembro de U . Más precisamente:
Sea σ una firma, un ultrafiltro sobre un set , y para cada dejar ser una estructura σ . Dejar ser el ultraproducto del con respecto a , es decir, Entonces, para cada , dónde , y para cada fórmula σ,
El teorema se demuestra por inducción sobre la complejidad de la fórmula. . El hecho de queSe usa un ultrafiltro (y no solo un filtro) en la cláusula de negación, y el axioma de elección es necesario en el paso del cuantificador existencial. Como aplicación, se obtiene el teorema de transferencia para campos hiperreales .
Ejemplos de
Deje que R sea una relación unaria en la estructura de M , y forman la UltraPower de M . Entonces el settiene un análogo * S en el UltraPower, y las fórmulas de primer orden que implican S son también válidas para * S . Por ejemplo, supongamos que M sean los reales y que Rx se mantenga si x es un número racional. Luego, en M , podemos decir que para cualquier par de números racionales x y y , existe otro número z tal que z no es racional, y x < z < y . Dado que esto se puede traducir a una fórmula lógica de primer orden en el lenguaje formal relevante, el teorema de Łoś implica que * S tiene la misma propiedad. Es decir, podemos definir una noción de los números hiperracionales, que son un subconjunto de los hiperrealistas, y tienen las mismas propiedades de primer orden que los racionales.
Considere, sin embargo, la propiedad de Arquímedes de los reales, que establece que no hay un número real x tal que x > 1, x > 1 + 1, x > 1 + 1 + 1, ... para cada desigualdad en la lista infinita . El teorema de Łoś no se aplica a la propiedad de Arquímedes, porque la propiedad de Arquímedes no se puede establecer en lógica de primer orden. De hecho, la propiedad de Arquímedes es falsa para los hiperrealistas, como lo muestra la construcción del número hiperreal ω arriba.
Límites directos de ultrapoderes (ultralimits)
- Para el ultraproducto de una secuencia de espacios métricos, consulte Ultralimit .
En la teoría de modelos y la teoría de conjuntos , a menudo se considera el límite directo de una secuencia de ultrapoderes. En la teoría de modelos , esta construcción puede denominarse ultralímite o ultrapotencia limitante .
Comenzando con una estructura, A 0 , y un ultrafiltro, D 0 , forman una ultrapotencia, A 1 . Luego repita el proceso para formar A 2 , y así sucesivamente. Para cada n hay una incrustación diagonal canónica. En las etapas límite, como A ω , forman el límite directo de las etapas anteriores. Uno puede continuar en lo transfinito.
Ver también
- Teorema de compacidad - Teorema
- Teorema de Löwenheim-Skolem - Teorema matemático
- Principio de transferencia : que todas las declaraciones de algún lenguaje que son verdaderas para alguna estructura lo son para otra estructura
Referencias
- Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modelos y ultraproductos: una introducción (reimpresión de 1974 ed.). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-44979-3.
- Burris, Stanley N .; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. Un curso de álgebra universal (Millennium ed.).