Ecuación de cadena hipernetizada

En mecánica estadística, la ecuación de cadena hipernetada es una relación de cierre para resolver la ecuación de Ornstein-Zernike que relaciona la función de correlación directa con la función de correlación total. Se usa comúnmente en la teoría de fluidos para obtener, por ejemplo, expresiones para la función de distribución radial . Está dado por:

{\ Displaystyle \ ln y (r_ {12}) = \ ln g (r_ {12}) + \ beta u (r_ {12}) = \ rho \ int \ left [h (r_ {13}) - \ ln g (r_ {13}) - \ beta u (r_ {13}) \ right] h (r_ {23}) \, d \ mathbf {r_ {3}}, \,}

donde es la densidad del número de moléculas, , es la función de distribución radial , es la interacción directa entre pares. con siendo la temperatura termodinámica y la constante de Boltzmann . ${\ Displaystyle \ rho = {\ frac {N} {V}}}$ ${\ Displaystyle h (r) = g (r) -1}$ ${\ Displaystyle g (r)}$ ${\ Displaystyle u (r)}$ ${\ Displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}}}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle k _ {\ rm {B}}}$

Derivación

La función de correlación directa representa la correlación directa entre dos partículas en un sistema que contiene otras N - 2 partículas. Puede ser representado por

{\ Displaystyle c (r) = g _ {\ rm {total}} (r) -g _ {\ rm {indirecto}} (r) \,}

donde (con el potencial de fuerza media ) y es la función de distribución radial sin la interacción directa entre pares incluida; es decir, escribimos . Por lo tanto, nos aproximamos por ${\ Displaystyle g _ {\ rm {total}} (r) = g (r) = \ exp [- \ beta w (r)]}$ ${\ Displaystyle w (r)}$ ${\ Displaystyle g _ {\ rm {indirecto}} (r)}$ ${\ Displaystyle u (r)}$ ${\ Displaystyle g _ {\ rm {indirecto}} (r) = \ exp \ {- \ beta [w (r) -u (r)] \}}$ ${\ Displaystyle c (r)}$

{\ Displaystyle c (r) = e ^ {- \ beta w (r)} - e ^ {- \ beta [w (r) -u (r)]}. \,}

Al expandir la parte indirecta de en la ecuación anterior e introducir la función , podemos aproximarnos escribiendo: ${\ Displaystyle g (r)}$ $y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)(=g_{\rm {indirect}}(r))$ $c(r)$