El cálculo icosiano es una estructura algebraica no conmutativa descubierta por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856. [1] [2] En términos modernos, dio una presentación grupal del grupo de rotación icosaédrico por generadores y relaciones.
El descubrimiento de Hamilton derivó de sus intentos de encontrar un álgebra de "tripletes" o 3-tuplas que él creía reflejaría los tres ejes cartesianos . Los símbolos del cálculo icosiano pueden equipararse a movimientos entre vértices en un dodecaedro . El trabajo de Hamilton en esta área resultó indirectamente en los términos circuito hamiltoniano y trayectoria hamiltoniana en la teoría de grafos. [3] También inventó el juego icosiano como un medio para ilustrar y popularizar su descubrimiento.
Definición informal
El álgebra se basa en tres símbolos que son raíces de la unidad , en el sentido de que la aplicación repetida de cualquiera de ellos produce el valor 1 después de un número particular de pasos. Ellos son:
Hamilton también da otra relación entre los símbolos:
(En términos modernos, este es el grupo de triángulos (2,3,5) ).
La operación es asociativa pero no conmutativa . Generan un grupo de orden 60, isomorfo al grupo de rotaciones de un icosaedro o dodecaedro regular , y por tanto al grupo alterno de grado cinco.
Aunque el álgebra existe como una construcción puramente abstracta, se puede visualizar más fácilmente en términos de operaciones en los bordes y vértices de un dodecaedro. El propio Hamilton usó un dodecaedro aplanado como base para su juego de instrucción.
Imagine un insecto arrastrándose a lo largo de un borde particular del dodecaedro etiquetado de Hamilton en una determinada dirección, digamos desde a . Podemos representar este borde dirigido por.
- El símbolo icosiano equivale a cambiar de dirección en cualquier borde, por lo que el insecto se arrastra desde a (siguiendo el borde dirigido ).
- El símbolo icosiano equivale a rotar el recorrido actual del insecto en sentido antihorario alrededor del punto final. En nuestro ejemplo, esto significaría cambiar la dirección inicial. convertirse .
- El símbolo icosiano equivale a girar a la derecha en el punto final, moviéndose desde a .
Legado
El cálculo icosiano es uno de los primeros ejemplos de muchas ideas matemáticas, que incluyen:
- presentar y estudiar un grupo por generadores y relaciones ;
- un grupo triangular , luego generalizado a los grupos de Coxeter ;
- visualización de un grupo mediante un gráfico, lo que llevó a la teoría combinatoria de grupos y más tarde a la teoría geométrica de grupos ;
- Circuitos hamiltonianos y caminos hamiltonianos en la teoría de grafos; [3]
- dessin d'enfant [4] [5] - ver dessin d'enfant: historia para más detalles.
Ver también
Referencias
- ^ William Rowan Hamilton (1856). "Memorando respetando un nuevo Sistema de Raíces de Unidad" (PDF) . Revista Filosófica . 12 : 446.
- ^ Thomas L. Hankins (1980). Sir William Rowan Hamilton . Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins. pag. 474 . ISBN 0-8018-6973-0.
- ^ a b Norman L. Biggs; E. Keith Lloyd; Robin J. Wilson (1976). Teoría de grafos 1736-1936 . Oxford: Clarendon Press. pag. 239. ISBN 0-19-853901-0.
- ^ Jones, Gareth (1995). "Dessins d'enfants: mapas bipartitos y grupos de Galois" . Séminaire Lotharingien de Combinatoire . B35d : 4. Archivado desde el original el 8 de abril de 2017 . Consultado el 2 de junio de 2010 , PDFCS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ WR Hamilton, Carta a John T. Graves "On the Icosian" (17 de octubre de 1856), Artículos matemáticos, vol. III, Álgebra, eds. H. Halberstam y RE Ingram, Cambridge University Press, Cambridge, 1967, págs. 612–625.