La teoría de grupos geométrica es un área en matemáticas dedicados al estudio de los grupos finitamente generados a través de la exploración de las conexiones entre algebraicas propiedades de tales grupos y topológicas y geométricas propiedades de los espacios en los que estos grupos actúan (es decir, cuando los grupos en cuestión se realizan como simetrías geométricas o transformaciones continuas de algunos espacios).
Otra idea importante en la teoría de grupos geométricos es considerar los propios grupos generados finitamente como objetos geométricos. Esto se suele hacer mediante el estudio de los gráficos de grupos de Cayley , que además de la estructura del gráfico , están dotados de la estructura de un espacio métrico , dada por la denominada métrica de palabras .
La teoría de grupos geométricos, como área distinta, es relativamente nueva y se convirtió en una rama claramente identificable de las matemáticas a fines de la década de 1980 y principios de la de 1990. La teoría de grupos geométricos interactúa estrechamente con la topología de baja dimensión , la geometría hiperbólica , la topología algebraica , la teoría de grupos computacional y la geometría diferencial . También hay conexiones sustanciales con teoría de la complejidad , la lógica matemática , el estudio de los grupos de Lie y sus subgrupos discretos, sistemas dinámicos , teoría de la probabilidad , K-teoría , y otras áreas de las matemáticas.
En la introducción a su libro Topics in Geometric Group Theory , Pierre de la Harpe escribió: "Una de mis creencias personales es que la fascinación por las simetrías y los grupos es una forma de afrontar las frustraciones de las limitaciones de la vida: nos gusta reconocer las simetrías que nos permiten reconocer más de lo que podemos ver. En este sentido el estudio de la teoría de grupos geométricos es parte de la cultura, y me recuerda varias cosas que Georges de Rham practicó en muchas ocasiones, como enseñar matemáticas, recitar Mallarmé , o saludar a un amigo". [1] : 3
Historia
La teoría de grupos geométricos surgió de la teoría combinatoria de grupos que estudiaba en gran medida las propiedades de los grupos discretos mediante el análisis de presentaciones grupales , que describen a los grupos como cocientes de grupos libres ; Este campo fue estudiado sistemáticamente por primera vez por Walther von Dyck , estudiante de Felix Klein , a principios de la década de 1880, [2] mientras que una forma temprana se encuentra en el cálculo icosiano de 1856 de William Rowan Hamilton , donde estudió el grupo de simetría icosaédrica a través del borde. gráfico del dodecaedro . Actualmente, la teoría combinatoria de grupos como área está subsumida en gran medida por la teoría de grupos geométricos. Además, el término "teoría de grupos geométricos" llegó a incluir a menudo el estudio de grupos discretos utilizando enfoques probabilísticos, teóricos de medidas , aritméticos, analíticos y otros que se encuentran fuera del arsenal de la teoría combinatoria de grupos tradicional.
En la primera mitad del siglo XX, el trabajo pionero de Max Dehn , Jakob Nielsen , Kurt Reidemeister y Otto Schreier , JHC Whitehead , Egbert van Kampen , entre otros, introdujo algunas ideas topológicas y geométricas en el estudio de grupos discretos. [3] Otros precursores de la teoría de grupos geométricos incluyen la teoría de pequeñas cancelaciones y la teoría de Bass-Serre . La teoría de la pequeña cancelación fue introducida por Martin Grindlinger en la década de 1960 [4] [5] y desarrollada por Roger Lyndon y Paul Schupp . [6] Estudia diagramas de van Kampen , correspondientes a presentaciones de grupos finitos, mediante condiciones de curvatura combinatoria y deriva propiedades algebraicas y algorítmicas de grupos a partir de dicho análisis. La teoría de Bass-Serre, introducida en el libro de Serre de 1977, [7] deriva información algebraica estructural sobre grupos mediante el estudio de acciones grupales en árboles simpliciales . Los precursores externos de la teoría de grupos geométricos incluyen el estudio de celosías en grupos de Lie, especialmente el teorema de rigidez de Mostow , el estudio de grupos kleinianos y el progreso logrado en topología de baja dimensión y geometría hiperbólica en la década de 1970 y principios de la de 1980, estimulado, en particular por William Thurston 's programa de geometrización .
El surgimiento de la teoría de grupos geométricos como un área distinta de las matemáticas se remonta generalmente a finales de la década de 1980 y principios de la de 1990. Fue estimulado por la monografía de 1987 de Mikhail Gromov "Grupos hiperbólicos" [8] que introdujo la noción de un grupo hiperbólico (también conocido como palabra-hiperbólico o Gromov-hiperbólico o grupo curvado negativamente ), que captura la idea de un grupo generado finitamente grupo que tiene una curvatura negativa a gran escala, y por su posterior monografía Asymptotic Invariants of Infinite Groups , [9] que delineó el programa de Gromov para comprender grupos discretos hasta cuasi-isometría . El trabajo de Gromov tuvo un efecto transformador en el estudio de grupos discretos [10] [11] [12] y la frase "teoría de grupos geométricos" comenzó a aparecer poco después. (ver, por ejemplo, [13] ).
Temas y desarrollos modernos
Los temas y desarrollos notables en la teoría de grupos geométricos en las décadas de 1990 y 2000 incluyen:
- Programa de Gromov para estudiar propiedades cuasiisométricas de grupos.
- Un tema amplio particularmente influyente en el área es el programa de Gromov [14] de clasificar grupos generados finitamente según su geometría a gran escala. Formalmente, esto significa clasificar grupos generados finitamente con su métrica de palabras hasta cuasi-isometría . Este programa incluye:
- Estudio de propiedades invariantes bajo cuasi-isometría . Ejemplos de tales propiedades de grupos generados finitamente incluyen: la tasa de crecimiento de un grupo generado finitamente; la función isoperimétrica o función Dehn de un grupo presentado de forma finita ; el número de extremos de un grupo ; hiperbolicidad de un grupo ; el tipo de homeomorfismo del límite de Gromov de un grupo hiperbólico; [15] conos asintóticos de grupos generados finitamente (véase, por ejemplo, [16] [17] ); amabilidad de un grupo finitamente generado; ser virtualmente abeliano (es decir, tener un subgrupo abeliano de índice finito ); ser virtualmente nilpotente ; ser virtualmente libre ; ser finamente presentable ; ser un grupo finamente presentable con problemas de palabras solucionables ; y otros.
- Teoremas que utilizan invariantes de cuasi-isometría para probar resultados algebraicos sobre grupos, por ejemplo: teorema de crecimiento polinomial de Gromov ; Teorema de los fines de Stallings ; Teorema de rigidez de Mostow .
- Teoremas de rigidez cuasi-isométrica, en los que se clasifican algebraicamente todos los grupos que son cuasi-isométricos para algún grupo o espacio métrico dado. Esta dirección fue iniciada por el trabajo de Schwartz sobre la rigidez cuasi-isométrica de las celosías de rango uno [18] y el trabajo de Benson Farb y Lee Mosher sobre la rigidez cuasi-isométrica de los grupos Baumslag-Solitar . [19]
- La teoría de los grupos de palabras hiperbólicos y relativamente hiperbólicos . Un avance particularmente importante aquí es el trabajo de Zlil Sela en la década de 1990 que resultó en la solución del problema del isomorfismo para grupos hiperbólicos de palabras. [20] La noción de grupos relativamente hiperbólicos fue introducida originalmente por Gromov en 1987 [8] y refinada por Farb [21] y Brian Bowditch , [22] en la década de 1990. El estudio de grupos relativamente hiperbólicos ganó prominencia en la década de 2000.
- Interacciones con la lógica matemática y el estudio de la teoría de primer orden de grupos libres. Se produjeron avances particularmente importantes en las famosas conjeturas de Tarski , debido al trabajo de Sela [23] , así como de Olga Kharlampovich y Alexei Myasnikov. [24] El estudio de los grupos límite y la introducción del lenguaje y la maquinaria de la geometría algebraica no conmutativa ganó importancia.
- Interacciones con la informática, la teoría de la complejidad y la teoría de lenguajes formales. Este tema está ejemplificado por el desarrollo de la teoría de los grupos automáticos , [25] una noción que impone ciertas condiciones geométricas y teóricas del lenguaje sobre la operación de multiplicación en un grupo finitamente generado.
- El estudio de desigualdades isoperimétricas, funciones de Dehn y sus generalizaciones para grupos finitos. Esto incluye, en particular, el trabajo de Jean-Camille Birget, Aleksandr Olʹshanskiĭ, Eliyahu Rips y Mark Sapir [26] [27] que caracterizan esencialmente las posibles funciones Dehn de grupos finitamente presentados, así como resultados que proporcionan construcciones explícitas de grupos con Funciones de Dehn. [28]
- Peter Kropholler introdujo originalmente la teoría de las descomposiciones toral o JSJ para 3 variedades en un marco teórico de grupos. [29] Esta noción ha sido desarrollada por muchos autores tanto para grupos presentados finitamente como generados finitamente. [30] [31] [32] [33] [34]
- Conexiones con el análisis geométrico , el estudio de C * -álgebras asociadas a grupos discretos y de la teoría de la probabilidad libre. Este tema está representado, en particular, por un progreso considerable en la conjetura de Novikov y la conjetura de Baum-Connes y el desarrollo y estudio de nociones teóricas de grupo relacionadas, tales como aptitud topológica, dimensión asintótica, integrabilidad uniforme en espacios de Hilbert , propiedad de decaimiento rápido, y así sucesivamente (véase, por ejemplo, [35] [36] [37] ).
- Interacciones con la teoría del análisis cuasiconformal en espacios métricos, particularmente en relación con la conjetura de Cannon sobre la caracterización de grupos hiperbólicos con el límite de Gromov homeomorfo a la 2-esfera. [38] [39] [40]
- Reglas de subdivisión finitas , también en relación con la conjetura de Cannon . [41]
- Interacciones con dinámicas topológicas en los contextos de estudio de acciones de grupos discretos en varios espacios compactos y compactaciones de grupos, particularmente métodos de grupos de convergencia [42] [43]
- Desarrollo de la teoría de acciones grupales sobre R {\ Displaystyle \ mathbb {R}} -árboles (particularmente la máquina Rips ), y sus aplicaciones. [44]
- Estudio de acciones grupales sobre espacios CAT (0) y complejos cúbicos CAT (0), [45] motivados por ideas de la geometría de Alexandrov.
- Interacciones con topología de baja dimensión y geometría hiperbólica, particularmente el estudio de grupos de tres variedades (ver, por ejemplo, [46] ), mapeo de grupos de clases de superficies, grupos de trenzas y grupos kleinianos .
- Introducción de métodos probabilísticos para estudiar propiedades algebraicas de objetos teóricos de grupos "aleatorios" (grupos, elementos de grupo, subgrupos, etc.). Un desarrollo particularmente importante aquí es el trabajo de Gromov, quien usó métodos probabilísticos para probar [47] la existencia de un grupo generado finitamente que no se puede incrustar uniformemente en un espacio de Hilbert. Otros desarrollos notables incluyen la introducción y el estudio de la noción de complejidad de casos genéricos [48] para la teoría de grupos y otros algoritmos matemáticos y los resultados de rigidez algebraica para grupos genéricos. [49]
- El estudio de grupos de autómatas y grupos de monodromía iterados como grupos de automorfismos de árboles con raíces infinitas. En particular, los grupos de crecimiento intermedio de Grigorchuk y sus generalizaciones aparecen en este contexto. [50] [51]
- El estudio de las propiedades de la teoría de la medida de las acciones grupales en los espacios de medida , en particular la introducción y el desarrollo de las nociones de equivalencia de medida y la equivalencia de órbita , así como las generalizaciones de la teoría de la medida de la rigidez de Mostow. [52] [53]
- El estudio de las representaciones unitarias de grupos discretos y la propiedad de Kazhdan (T) [54]
- El estudio de Out ( F n ) (el grupo de automorfismos externos de un grupo libre de rango n ) y de los automorfismos individuales de grupos libres. La introducción y el estudio del espacio exterior de Culler-Vogtmann [55] y de la teoría de las vías del tren [56] para los automorfismos de grupo libre jugaron un papel particularmente destacado aquí.
- Desarrollo de la teoría de Bass-Serre , en particular varios resultados de accesibilidad [57] [58] [59] y la teoría de las celosías de los árboles. [60] Generalizaciones de la teoría de Bass-Serre como la teoría de complejos de grupos. [45]
- El estudio de paseos aleatorios en grupos y la teoría de límites relacionada, en particular la noción de límite de Poisson (ver, por ejemplo, [61] ). El estudio de la aptitud y de los grupos cuyo estado de aptitud aún se desconoce.
- Interacciones con la teoría de grupos finitos, particularmente avances en el estudio del crecimiento de subgrupos . [62]
- Estudiar subgrupos y celosías en grupos lineales , comoy de otros grupos de Lie, a través de métodos geométricos (por ejemplo, edificios ), herramientas algebro-geométricas (por ejemplo, grupos algebraicos y variedades de representación), métodos analíticos (por ejemplo, representaciones unitarias en espacios de Hilbert) y métodos aritméticos.
- Cohomología grupal , usando métodos algebraicos y topológicos, particularmente involucrando la interacción con la topología algebraica y el uso de ideas teóricas morse en el contexto combinatorio; métodos homológicos y cohomológicos a gran escala o burdos (véase, por ejemplo, [63] ).
- Avances en temas tradicionales de teoría combinatoria de grupos, como el problema de Burnside , [64] [65] el estudio de grupos Coxeter y grupos Artin , etc. (los métodos utilizados para estudiar estas cuestiones actualmente son a menudo geométricos y topológicos).
Ejemplos de
Los siguientes ejemplos se estudian a menudo en la teoría de grupos geométricos:
- Grupos susceptibles
- Grupos de Free Burnside
- El grupo cíclico infinito Z
- Grupos libres
- Productos gratis
- Grupos de automorfismo externo hacia fuera (F n ) (a través del espacio exterior )
- Grupos hiperbólicos
- Mapeo de grupos de clases (automorfismos de superficies)
- Grupos simétricos
- Grupos de trenzas
- Grupos de Coxeter
- Grupos de General Artin
- Grupo F de Thompson
- Grupos CAT (0)
- Grupos aritméticos
- Grupos automáticos
- Grupos fucsianos , grupos kleinianos y otros grupos que actúan correctamente de forma discontinua en espacios simétricos, en particular enrejados en grupos de Lie semisimplejos.
- Grupos de fondos de pantalla
- Grupos de Baumslag – Solitar
- Grupos fundamentales de gráficas de grupos
- Grupo Grigorchuk
Ver también
- El lema del ping-pong , una forma útil de exhibir un grupo como producto gratuito
- Grupo apto
- Transformación de Nielsen
- Transformación de Tietze
Referencias
- ^ P. de la Harpe, Temas de la teoría de grupos geométricos . Conferencias de Chicago en Matemáticas. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6 , ISBN 0-226-31721-8 .
- ^ Stillwell, John (2002), Matemáticas y su historia , Springer, p. 374 , ISBN 978-0-387-95336-6
- ^ Bruce Chandler y Wilhelm Magnus . La historia de la teoría combinatoria de grupos. Un caso de estudio en la historia de las ideas. Estudios de Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas, vo. 9. Springer-Verlag, Nueva York, 1982.
- ^ Greendlinger, Martin (1960). "Algoritmo de Dehn para el problema verbal". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 13 (1): 67–83. doi : 10.1002 / cpa.3160130108 .
- ^ Greendlinger, Martin (1961). "Un análogo de un teorema de Magnus". Archiv der Mathematik . 12 (1): 94–96. doi : 10.1007 / BF01650530 . S2CID 120083990 .
- ^ Roger Lyndon y Paul Schupp , Teoría de grupos combinatorios , Springer-Verlag, Berlín, 1977. Reimpreso en la serie "Clásicos de las matemáticas", 2000.
- ^ J.-P. Serre, árboles . Traducido del original francés de 1977 por John Stillwell . Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1980. ISBN 3-540-10103-9 .
- ^ a b Mikhail Gromov, Grupos hiperbólicos , en "Ensayos en teoría de grupos" (Steve M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, págs. 75-263.
- ^ Mikhail Gromov, "Invariantes asintóticos de grupos infinitos" , en "Teoría de grupos geométricos", vol. 2 (Sussex, 1991), London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, págs. 1–295.
- ^ Iliya Kapovich y Nadia Benakli. Límites de grupos hiperbólicos. Teoría de grupos combinatoria y geométrica (Nueva York, 2000 / Hoboken, Nueva Jersey, 2001), págs. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 2002. De la Introducción: "En los últimos quince años, la teoría de grupos geométricos ha disfrutado de un rápido crecimiento y una influencia cada vez mayor. Gran parte de este progreso ha sido estimulado por el notable trabajo de ML Gromov [en Ensayos en teoría de grupos , 75-263, Springer, Nueva York, 1987; en Teoría de grupos geométricos, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1-295, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993], quien ha avanzado la teoría de los grupos hiperbólicos de palabras. (también denominados grupos hiperbólicos de Gromov o con curvas negativas) ".
- ^ Brian Bowditch , 3 variedades hiperbólicas y la geometría del complejo de curvas. Congreso Europeo de Matemáticas , págs. 103-115, Eur. Matemáticas. Soc., Zürich, 2005. De la Introducción: "Gran parte de esto se puede ver en el contexto de la teoría de grupos geométricos. Este tema ha experimentado un crecimiento muy rápido durante los últimos veinte años, aunque, por supuesto, sus antecedentes se pueden rastrear mucho antes. [...] El trabajo de Gromov ha sido una fuerza impulsora importante en esto. Particularmente relevante aquí es su artículo seminal sobre grupos hiperbólicos [Gr]. "
- ^ Elek, Gabor (2006). "Las matemáticas de Misha Gromov". Acta Mathematica Hungarica . 113 (3): 171–185. doi : 10.1007 / s10474-006-0098-5 . S2CID 120667382 .
pag. 181 "El trabajo pionero de Gromov sobre la geometría de espacios métricos discretos y su programa de cuasi-isometría se convirtió en la locomotora de la teoría de grupos geométricos de principios de los años ochenta".
- ^ Teoría de grupos geométricos. Vol. 1. Actas del simposio celebrado en la Universidad de Sussex, Sussex, julio de 1991. Editado por Graham A. Niblo y Martin A. Roller. London Mathematical Society Lecture Note Series, 181. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. ISBN 0-521-43529-3 .
- ^ Mikhail Gromov, invariantes asintóticos de grupos infinitos , en "Teoría de grupos geométricos", vol. 2 (Sussex, 1991), London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, págs. 1–295.
- ^ Iliya Kapovich y Nadia Benakli. Límites de grupos hiperbólicos. Teoría de grupos combinatoria y geométrica (Nueva York, 2000 / Hoboken, Nueva Jersey, 2001), págs. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 2002.
- ^ Riley, Tim R. (2003). "Mayor conectividad de conos asintóticos" . Topología . 42 (6): 1289-1352. doi : 10.1016 / S0040-9383 (03) 00002-8 .
- ^ Kramer, Linus; Sela, Saharon ; Tienda, Katrin ; Thomas, Simon (2005). "Conos asintóticos de grupos finitamente presentados" . Avances en Matemáticas . 193 (1): 142-173. arXiv : matemáticas / 0306420 . doi : 10.1016 / j.aim.2004.04.012 . S2CID 4769970 .
- ^ Schwartz, RE (1995). "La clasificación de cuasi-isometría de celosías de rango uno" . Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 82 (1): 133–168. doi : 10.1007 / BF02698639 . S2CID 67824718 .
- ^ Farb, Benson ; Mosher, Lee (1998). "Un teorema de rigidez para los grupos solitables Baumslag-Solitar. Con un apéndice de Daryl Cooper". Inventiones Mathematicae . 131 (2): 419–451. doi : 10.1007 / s002220050210 . Señor 1608595 . S2CID 121180189 .
- ^ Sela, Zlil (1995). "El problema del isomorfismo de los grupos hiperbólicos. I". Annals of Mathematics . (2). 141 (2): 217–283. doi : 10.2307 / 2118520 . JSTOR 2118520 . Señor 1324134 .
- ^ Farb, Benson (1998). "Grupos relativamente hiperbólicos". Análisis geométrico y funcional . 8 (5): 810–840. doi : 10.1007 / s000390050075 . Señor 1650094 . S2CID 123370926 .
- ^ Bowditch, Brian H. (1999). Estructuras arborescentes que surgen de grupos continuos y de convergencia . Memorias American Mathematical Society. 662 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1003-3.
- ^ Zlil Sela, Geometría diofántica sobre grupos y teoría elemental de grupos libres e hiperbólicos. Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II (Beijing, 2002), págs. 87–92, Ed. Superior. Prensa, Beijing, 2002.
- ^ Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei (1998). "El problema de Tarski sobre la teoría elemental de los grupos libres tiene una solución positiva" . Anuncios de investigación electrónica de la American Mathematical Society . 4 (14): 101–8. doi : 10.1090 / S1079-6762-98-00047-X . Señor 1662319 .
- ^ DBA Epstein, JW Cannon, D. Holt, S. Levy, M. Paterson, W. Thurston. Procesamiento de textos en grupos . Jones y Bartlett Publishers, Boston, MA, 1992.
- ^ Sapir, Mark ; Birget, Jean-Camille; Rips, Eliyahu (2002). "Funciones isoperimétricas e isodiamétricas de grupos". Annals of Mathematics . (2). 156 (2): 345–466. arXiv : matemáticas / 9811105 . doi : 10.2307 / 3597195 . JSTOR 3597195 . S2CID 119728458 .
- ^ Birget, Jean-Camille; Olʹshanskiĭ, Aleksandr Yu .; Rips, Eliyahu ; Sapir, Mark (2002). "Funciones isoperimétricas de grupos y complejidad computacional del problema verbal". Annals of Mathematics . (2). 156 (2): 467–518. arXiv : matemáticas / 9811106 . doi : 10.2307 / 3597196 . JSTOR 3597196 . S2CID 14155715 .
- ^ Bridson, MR (1999). "Desigualdades isoperimétricas fraccionales y distorsión de subgrupos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 12 (4): 1103–18. doi : 10.1090 / S0894-0347-99-00308-2 . Señor 1678924 . S2CID 7981000 .
- ^ Kropholler, PH (1990). "Un análogo del teorema de descomposición del toro para ciertos grupos de dualidad de Poincaré" . Actas de la London Mathematical Society . s3-60 (3): 503-529. doi : 10.1112 / plms / s3-60.3.503 . ISSN 1460-244X .
- ^ Rips, E .; Sela, Z. (1997). "Escisiones cíclicas de grupos finitamente presentados y la descomposición JSJ canónica". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 146 (1): 53–109. doi : 10.2307 / 2951832 . JSTOR 2951832 .
- ^ Dunwoody, MJ; Sageev, ME (1999). "Divisiones JSJ para grupos presentados de forma finita sobre grupos delgados". Inventiones Mathematicae . 135 (1): 25–44. doi : 10.1007 / s002220050278 . S2CID 16958457 .
- ^ Scott, P .; Swarup, GA (2002). "Barrios regulares y descomposiciones canónicas por grupos" . Anuncios de investigación electrónica de la American Mathematical Society . 8 (3): 20-28. doi : 10.1090 / S1079-6762-02-00102-6 . Señor 1928498 .
- ^ Bowditch, BH (1998). "Puntos de corte y escisiones canónicas de grupos hiperbólicos" . Acta Mathematica . 180 (2): 145–186. doi : 10.1007 / BF02392898 .
- ^ Fujiwara, K .; Papasoglu, P. (2006). "JSJ-descomposiciones de grupos finamente presentados y complejos de grupos". Análisis geométrico y funcional . 16 (1): 70-125. arXiv : matemáticas / 0507424 . doi : 10.1007 / s00039-006-0550-2 . S2CID 10105697 .
- ^ Yu, G. (1998). "La conjetura de Novikov para grupos con dimensión asintótica finita". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 147 (2): 325–355. doi : 10.2307 / 121011 . JSTOR 121011 .
- ^ G. Yu. The coarse Baum–Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space. Inventiones Mathematicae, vol 139 (2000), no. 1, pp. 201–240.
- ^ Mineyev, I.; Yu, G. (2002). "The Baum–Connes conjecture for hyperbolic groups". Inventiones Mathematicae. 149 (1): 97–122. arXiv:math/0105086. doi:10.1007/s002220200214. S2CID 7940721.
- ^ Bonk, Mario; Kleiner, Bruce (2005). "Conformal dimension and Gromov hyperbolic groups with 2-sphere boundary". Geometry & Topology. 9: 219–246. arXiv:math.GR/0208135. doi:10.2140/gt.2005.9.219. S2CID 786904.
- ^ Marc Bourdon and Hervé Pajot. Quasi-conformal geometry and hyperbolic geometry. Rigidity in dynamics and geometry (Cambridge, 2000), pp. 1–17, Springer, Berlin, 2002.
- ^ Mario Bonk, Quasiconformal geometry of fractals. International Congress of Mathematicians. Vol. II, pp. 1349–1373, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006.
- ^ Cannon, James W.; Floyd, William J.; Parry, Walter R. (2001). "Finite subdivision rules". Conformal Geometry and Dynamics. 5 (8): 153–196. doi:10.1090/S1088-4173-01-00055-8. MR 1875951.
- ^ P. Tukia. Generalizations of Fuchsian and Kleinian groups. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 447–461, Progr. Math., 120, Birkhäuser, Basel, 1994.
- ^ Yaman, Asli (2004). "A topological characterisation of relatively hyperbolic groups". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 566: 41–89. MR 2039323.
- ^ Bestvina, M.; Feighn, M. (1995). "Stable actions of groups on real trees". Inventiones Mathematicae. 121 (2): 287–321. doi:10.1007/BF01884300. S2CID 122048815.
- ^ a b Bridson & Haefliger 1999
- ^ M. Kapovich, Hyperbolic manifolds and discrete groups. Progress in Mathematics, 183. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2001.
- ^ M. Gromov. Random walk in random groups. Geometric and Functional Analysis, vol. 13 (2003), no. 1, pp. 73–146.
- ^ Kapovich, I.; Miasnikov, A.; Schupp, P.; Shpilrain, V. (2003). "Generic-case complexity, decision problems in group theory, and random walks". Journal of Algebra. 264 (2): 665–694. doi:10.1016/S0021-8693(03)00167-4.
- ^ Kapovich, I.; Schupp, P.; Shpilrain, V. (2006). "Generic properties of Whitehead's algorithm and isomorphism rigidity of random one-relator groups". Pacific Journal of Mathematics. 223 (1): 113–140. doi:10.2140/pjm.2006.223.113.
- ^ L. Bartholdi, R. I. Grigorchuk and Z. Sunik. Branch groups. Handbook of algebra, Vol. 3, pp. 989-1112, North-Holland, Amsterdam, 2003.
- ^ V. Nekrashevych. Self-similar groups. Mathematical Surveys and Monographs, 117. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. ISBN 0-8218-3831-8.
- ^ Furman, A. (1999). "Gromov's measure equivalence and rigidity of higher rank lattices". Annals of Mathematics. Second Series. 150 (3): 1059–81. arXiv:math/9911262. doi:10.2307/121062. JSTOR 121062. S2CID 15408706.
- ^ Monod, N.; Shalom, Y. (2006). "Orbit equivalence rigidity and bounded cohomology". Annals of Mathematics. Second Series. 164 (3): 825–878. doi:10.4007/annals.2006.164.825. JSTOR 20160009.
- ^ Y. Shalom. The algebraization of Kazhdan's property (T). International Congress of Mathematicians. Vol. II, pp. 1283–1310, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006.
- ^ Culler, M.; Vogtmann, K. (1986). "Moduli of graphs and automorphisms of free groups". Inventiones Mathematicae. 84 (1): 91–119. doi:10.1007/BF01388734. S2CID 122869546.
- ^ Bestvina, Mladen; Handel, Michael (1992). "Train tracks and automorphisms of free groups". Annals of Mathematics. 2. 135 (1): 1–51. doi:10.2307/2946562. JSTOR 2946562. MR 1147956.
- ^ Dunwoody, M.J. (1985). "The accessibility of finitely presented groups". Inventiones Mathematicae. 81 (3): 449–457. doi:10.1007/BF01388581. S2CID 120065939.
- ^ Bestvina, M.; Feighn, M. (1991). "Bounding the complexity of simplicial group actions on trees". Inventiones Mathematicae. 103 (3): 449–469. doi:10.1007/BF01239522. S2CID 121136037.
- ^ Sela, Zlil (1997). "Acylindrical accessibility for groups". Inventiones Mathematicae. 129 (3): 527–565. doi:10.1007/s002220050172. S2CID 122548154.
- ^ Hyman Bass and Alexander Lubotzky. Tree lattices. With appendices by Hyman Bass, Lisa Carbone, Alexander Lubotzky, G. Rosenberg and Jacques Tits. Progress in Mathematics, 176. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2001. ISBN 0-8176-4120-3.
- ^ Kaimanovich, V.A. (2000). "The Poisson formula for groups with hyperbolic properties". Annals of Mathematics. 2. 152 (3): 659–692. arXiv:math/9802132. doi:10.2307/2661351. JSTOR 2661351. S2CID 14774503.
- ^ Alexander Lubotzky and Dan Segal. Subgroup growth. Progress in Mathematics, 212. Birkhäuser Verlag, Basel, 2003. ISBN 3-7643-6989-2. MR1978431
- ^ Bestvina, Mladen; Kapovich, Michael; Kleiner, Bruce (2002). "Van Kampen's embedding obstruction for discrete groups". Inventiones Mathematicae. 150 (2): 219–235. arXiv:math/0010141. doi:10.1007/s00222-002-0246-7. MR 1933584. S2CID 7153145.
- ^ Ivanov, S.V. (1994). "The free Burnside groups of sufficiently large exponents". International Journal of Algebra and Computation. 4 (1n2): 1–309. doi:10.1142/S0218196794000026.
- ^ Lysënok, I.G. (1996). "Infinite Burnside groups of even exponent". Izvestiya: Mathematics. 60 (3): 453–654. doi:10.1070/im1996v060n03abeh000077.
Books and monographs
These texts cover geometric group theory and related topics.
- Bowditch, Brian H. (2006). A course on geometric group theory. MSJ Memoirs. 16. Tokyo: Mathematical Society of Japan. ISBN 4-931469-35-3.
- Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 319. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64324-9.
- Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes : les groupes hyperboliques de Gromov. Lecture Notes in Mathematics. 1441. Springer-Verlag. ISBN 3-540-52977-2. MR 1075994.
- Clay, Matt; Margalit, Dan (2017). Office Hours with a Geometric Group Theorist. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15866-2.
- Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Symbolic dynamics and hyperbolic groups. Lecture Notes in Mathematics. 1539. Springer-Verlag. ISBN 3-540-56499-3.
- de la Harpe, P. (2000). Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-31719-6.
- Druţu, Cornelia; Kapovich, Michael (2018). Geometric Group Theory (PDF). American Mathematical Society Colloquium Publications. 63. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1104-6. MR 3753580.
- Epstein, D.B.A.; Cannon, J.W.; Holt, D.; Levy, S.; Paterson, M.; Thurston, W. (1992). Word Processing in Groups. Jones and Bartlett. ISBN 0-86720-244-0.
- Gromov, M. (1987). "Hyperbolic Groups". In Gersten, G.M. (ed.). Essays in Group Theory. 8. MSRI. pp. 75–263. ISBN 0-387-96618-8.
- Gromov, Mikhael (1993). Niblo, G.A.; Roller, M.A. (eds.). Asymptotic invariants of infinite groups. 2. Cambridge University Press. pp. 1–295. ISBN 978-0-521-44680-8. Unknown parameter
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ignored (help) - Kapovich, M. (2001). Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups. Progress in Mathematics. 183. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3904-4.
- Lyndon, Roger C.; Schupp, Paul E. (2015) [1977]. Combinatorial Group Theory. Classics in mathematics. Springer. ISBN 978-3-642-61896-3.
- Ol'shanskii, A.Yu. (2012) [1991]. Geometry of Defining Relations in Groups. Springer. ISBN 978-94-011-3618-1.
- Roe, John (2003). Lectures on Coarse Geometry. University Lecture Series. 31. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3332-2.
enlaces externos
- Jon McCammond's Geometric Group Theory Page
- What is Geometric Group Theory? By Daniel Wise
- Open Problems in combinatorial and geometric group theory
- Geometric group theory Theme on arxiv.org