idempotencia

La idempotencia ( UK : / ˌ ɪ d ɛ m ˈ p oʊ t ən s / , ^[1] US : / ˌ aɪ d ə m -/ ) ^[2] es la propiedad de ciertas operaciones en matemáticas e informática mediante la cual pueden ser aplicado varias veces sin cambiar el resultado más allá de la aplicación inicial. El concepto de idempotencia surge en varios lugares del álgebra abstracta (en particular, en la teoría deproyectores y operadores de cierre ) y programación funcional (en la que se conecta con la propiedad de transparencia referencial ).

El término fue introducido por Benjamin Peirce ^[3] en el contexto de elementos de álgebras que permanecen invariables cuando se elevan a una potencia entera positiva, y literalmente significa "(la cualidad de tener) el mismo poder", de idem + potencia (mismo + energía).

Se dice que un elemento de un conjunto equipado con un operador binario es idempotente bajo si ^{[4] [5]}${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización S}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \cdot }$

Se dice que la operación binaria es idempotente si ^{[6] [7]}${\displaystyle \cdot }$

En el monoide de las funciones de un conjunto a sí mismo con composición de funciones , los elementos idempotentes son las funciones tales que , ^[8] que es tal que para todos (es decir, la imagen de cada elemento es un punto fijo de ). Por ejemplo:${\displaystyle (E^{E},\circ )}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle f\colon E\to E}$${\displaystyle f\circ f=f}$${\displaystyle f(f(x))=f(x)}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f}$

Si el conjunto tiene elementos, podemos dividirlo en puntos fijos elegidos y puntos no fijos en , y luego es el número de funciones idempotentes diferentes. Por lo tanto, teniendo en cuenta todas las particiones posibles,${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k^{n-k}}$

Botones de encendido / apagado del panel de control de la señal de destino de un tren . Pulsar el botón de encendido (verde) es una operación idempotente, ya que tiene el mismo efecto tanto si se hace una vez como si se hace varias veces. Del mismo modo, presionar Off es idempotente.

Un botón de paso de peatones típico es un ejemplo de un sistema idempotente