En matemáticas, los números idoneales de Euler (también llamados números adecuados o números convenientes ) son los enteros positivos D tales que cualquier entero expresable de una sola manera como x 2 ± Dy 2 (donde x 2 es relativamente primo a Dy 2 ) es una potencia prima o dos veces una potencia principal. En particular, un número que tiene dos representaciones distintas como suma de dos cuadrados es compuesto . Cada número idoneal genera un conjunto que contiene infinitos números primos y faltan infinitos otros primos.
Definición
Un entero positivo n es idoneo si y solo si no se puede escribir como ab + bc + ac para un entero positivo distinto a, b y c . [1]
Es suficiente considerar el conjunto { n + k 2 | k 2 ≤ 3 · n ∧ mcd ( n , k ) = 1} ; si todos estos números tienen la forma p , p 2 , 2 · p o 2 s para algún número entero s , donde p es un primo, entonces n es idoneal. [2]
Listado conjeturalmente completo
¿Hay 65, 66 o 67 números idoneos?
Los 65 números idoneos hallados por Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss y que se conjeturan que son los únicos números de este tipo son
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 y 1848 (secuencia A000926 en la OEIS ).
En 2011, Ernst Kani [3] mostró que el trabajo de Peter J. Weinberger [4] implica que existen como máximo otros dos números idoneales, y que la lista anterior está completa si se mantiene la hipótesis generalizada de Riemann .
Ver también
Notas
- ^ Eric Rains, OEIS : A000926 Comentarios sobre A000926, diciembre de 2007.
- ^ Roberts, Joe: El atractivo de los enteros. La Asociación Matemática de América, 1992
- ^ Ann. Sci. Matemáticas. Québec 35, No 2, (2011), 197-227
- ^ Acta Arith., 22 (1973), p. 117-124
Referencias
- ZI Borevich e IR Shafarevich, Teoría de números . Academic Press, Nueva York, 1966, págs. 425–430.
- DA Cox (1989). Primas de la forma x 2 + ny 2 . Wiley-Interscience. pag. 61. ISBN 0-471-50654-0.
- L. Euler, " Una ilustración de una paradoja sobre los números idoneos o adecuados ", 1806
- G. Frei, números convenientes de Euler, matemáticas. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 y 64.
- OH. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Matemáticas. Rev. 85m: 11019]
- GB Mathews, Theory of Numbers , Chelsea, sin fecha, p. 263.
- P. Ribenboim , "Galimatias Arithmeticae", en Mathematics Magazine 71 (5) 339 1998 MAA o, 'My Numbers, My Friends', Cap.11 Springer-Verlag 2000 NY
- J. Steinig, Sobre los números ideales de Euler, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
- A. Weil , Teoría de números: una aproximación a través de la historia; de Hammurapi a Legendre , Birkhaeuser, Boston, 1984; ver p. 188.
- P. Weinberger, exponentes de los grupos de clases de campos cuadráticos complejos, Acta Arith., 22 (1973), 117-124.
- Ernst Kani, Números idoneales y algunas generalizaciones, Ann. Sci. Matemáticas. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.
enlaces externos
- KS Brown, Mathpages, Numeri Idonei
- M. Waldschmidt, Problemas diofánticos abiertos
- Weisstein, Eric W. "Número idoneo" . MathWorld .