Rompecabezas de suma y producto
El rompecabezas de la suma y el producto , también conocido como el rompecabezas imposible porque parece carecer de información suficiente para una solución, es un rompecabezas de lógica . Fue publicado por primera vez en 1969 por Hans Freudenthal , [1] [2] y el nombre Impossible Puzzle fue acuñado por Martin Gardner . [3] El rompecabezas se puede resolver, aunque no es fácil. Existen muchas versiones similares de rompecabezas.
Rompecabezas
X e Y son dos números enteros distintos mayor que 1. Su suma no es mayor que 100, y Y es mayor que X . S y P son dos matemáticos (y, en consecuencia, lógicos perfectos); S sabe la suma X + Y y P conoce el producto X × Y . Tanto S como P conocen toda la información de este párrafo.
Se produce la siguiente conversación (ambos participantes dicen la verdad):
- S dice "P no conoce X e Y ".
- P dice "Ahora conozco X e Y ".
- S dice "Ahora también conozco X e Y ".
¿Qué son X e Y ?
Explicación
El problema se resuelve con bastante facilidad una vez que se aclaran los conceptos y las perspectivas. Hay tres partes involucradas, S, P y O. S conoce la suma X + Y , P conoce el producto X · Y , y el observador O no conoce nada más que el enunciado original del problema. Las tres partes mantienen la misma información pero la interpretan de manera diferente. Entonces se convierte en un juego de información.
Llamemos a la división de un número A en dos términos A = B + C una división en 2. No hay necesidad de ningún conocimiento avanzado como la conjetura de Goldbach o el hecho de que el producto B · C de tal división en 2 sea único (es decir, no hay otros dos números que también cuando se multiplican dan el mismo resultado). Pero con la conjetura de Goldbach, junto con el hecho de que P conocería inmediatamente a X e Y si su producto fuera un semiprimo , se puede deducir que la suma x + y no puede ser par, ya que todo número par se puede escribir como la suma de dos números primos. El producto de esos dos números sería un semiprimo.
Paso 1. S (Sue), P (Pete) y O (Otto) hacen tablas de todos los productos que se pueden formar a partir de 2 divisiones de las sumas en el rango, es decir, de 5 a 100 ( X > 1 e Y> X requiere que comencemos en 5). Por ejemplo, 11 se puede dividir en 2 + 9, 3 + 8, 4 + 7 y 5 + 6. Los productos respectivos son 18, 24, 28 y 30 y los jugadores ponen una marca al lado de cada uno de estos productos en sus tablas (Tabla 1). Cuando terminan, algunos números no tienen marcas de verificación, algunos tienen uno y otros tienen más de uno.
Paso 2. Sue ahora mira su suma y todas sus 2 divisiones. Ella ve que todas las divisiones 2 tienen productos que no son únicos, es decir, existe una factorización diferente que es una división 2 de alguna otra suma posible. Ella ve esto en la tabla del Paso 1, donde todos sus productos tienen más de una marca de verificación. Ella se da cuenta de que debido a este hecho, Pete no podrá determinar de manera única los factores X e Y al observar el producto (eso habría requerido que al menos uno de los productos candidatos tuviera solo una marca de verificación). Entonces ella exclama "P no puede conocer X e Y". Cuando Pete y Otto escuchan esto, obtienen la información de que ninguno de los productos asociados con la suma de Sue es único. Al revisar las sumas posibles, una por una, Sue, Pete y Otto ahora pueden, cada uno por sí mismos, Haga una lista de todas las sumas elegibles (Tabla 2). La tabla contiene aquellas sumas cuyas 2 divisiones tienen productos que no son únicos, es decir, tienen más de una marca en la Tabla 1. Sue, Pete y Otto han creado la tabla de sumas candidatas (Sue, por supuesto, ya conoce su suma, pero necesita rastrear el pensamiento de Pete).
Paso 3. Considerando la nueva información en la Tabla 2, Pete vuelve a mirar su producto. Las sumas de todas las posibles 2 divisiones de su producto, excepto una, han desaparecido de la Tabla 2 en comparación con todos los números entre 5 y 100 que se consideraron sumas desde el principio. El único que queda debe ser la suma de los dos números ocultos X e Y cuyo producto X · Y conoce. A partir de la suma y el producto, es fácil conocer los números individuales y, por lo tanto, le dice a Sue que "Ahora sé X e Y ". Pete ha terminado y sale del juego.
Paso 4. Sue y Otto recalculan la Tabla 1, esta vez contando solo los productos de 2 divisiones de las sumas que están en la Tabla 2 en lugar de todos los números en el rango de 5 a 100 como en la Tabla 1 original. Esta tabla actualizada se llama Tabla 1B. Sue mira todos los productos de las 2 divisiones de su suma y encuentra que solo uno de ellos aparece exactamente una vez en la Tabla 1B. Este debe ser entonces el producto que tiene Pete, y ella puede inferir los dos números de su suma y producto tan fácilmente como lo hizo Pete. Así, le dice a Otto (Pete ya se ha ido) que "Ahora también conozco X e Y ". Sue ahora también ha terminado y sale del juego, solo Otto permanece.
Paso 5. A partir de la información del Paso 4, Otto escanea todas las sumas en la Tabla 2 en busca de una de las cuales solo una división en 2 tiene una única marca de verificación en la Tabla 1B. El deseado solo puede tener una marca de verificación, o Sue no habría podido conocer X e Y con certeza. Finalmente, Otto llega a la suma deseada, que también resulta ser el único con estas propiedades, lo que hace que el problema original se pueda resolver con una solución única. La tarea de Otto ahora también está terminada.
Solución
La solución tiene X e Y como 4 y 13, con P inicialmente sabiendo que el producto es 52 y S sabiendo que la suma es 17.
Inicialmente P no conoce la solución, ya que
- 52 = 4 × 13 = 2 × 26
y S sabe que P no conoce la solución ya que todas las sumas posibles hasta 17 dentro de las restricciones producen productos igualmente ambiguos. Sin embargo, cada uno puede encontrar la solución eliminando otras posibilidades siguiendo las declaraciones del otro y eso es suficiente para que el lector encuentre la solución dadas las restricciones.
Otras soluciones
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El problema se puede generalizar. [2] El límite X + Y ≤ 100 se elige de forma bastante deliberada. Si se modifica el límite de X + Y , el número de soluciones puede cambiar. Para X + Y <62, no hay solución. Esto puede parecer contradictorio al principio, ya que la solución X = 4, Y = 13 encaja dentro del límite. Pero mediante la exclusión de productos con factores que suman números entre estos límites, ya no hay múltiples formas de factorizar todas las no soluciones, lo que lleva a que la información no dé ninguna solución al problema. Por ejemplo, si X = 2, Y = 62,X + Y = 64, X · Y = 124 no se considera, entonces solo queda un producto de 124, a saber. 4 · 31, lo que arroja una suma de 35. Entonces 35 se elimina cuando S declara que P no puede conocer los factores del producto, lo que no habría sido posible si se hubiera permitido la suma de 64.
Por otro lado, cuando el límite es X + Y ≤ 1685 o superior, aparece una segunda solución X = 4, Y = 61. Así, a partir de ese momento, el problema no tiene solución en el sentido de que ya no existe un solución única. De manera similar, si X + Y ≤ 1970 o más, aparece una tercera solución ( X = 16, Y = 73). Todas estas tres soluciones contienen un número primo. La primera solución sin número primo es la cuarta que aparece en X + Y ≤ 2522 o superior con valores X = 16 = 2 · 2 · 2 · 2 e Y = 111 = 3 · 37.
Si la condición Y > X > 1 se cambia a Y > X > 2, existe una solución única para los umbrales X + Y ≤ t para 124 < t <5045, después de lo cual hay múltiples soluciones. En 124 y menos, no hay soluciones. No es de extrañar que se haya elevado el umbral de una solución. Intuitivamente, el espacio del problema se hizo más "escaso" cuando el número primo 2 ya no está disponible como factor X , creando menos productos posibles X · Y a partir de una suma A dada . Cuando hay muchas soluciones, es decir, para t superior, algunas soluciones coinciden con las del problema original con Y > X > 1, por ejemplo X = 16, Y = 163.
Si la condición X + Y ≤ t para algún umbral t se cambia por X · Y ≤ u , en cambio, el problema cambia de apariencia. Se vuelve más fácil de resolver con menos cálculos requeridos. Un valor razonable para u podría ser u = t · t / 4 para el t correspondiente basado en el producto más grande de dos factores cuya suma t es ( t / 2) · ( t / 2). Ahora el problema tiene una solución única en los rangos 47 < t <60, 71 < t <80, 107 < t<128 y 131 < t <144 y ninguna solución por debajo de ese umbral. Los resultados de la formulación alternativa no coinciden con los de la formulación original, ni en número de soluciones ni en contenido.
Ver también
Referencias
- ^ Hans Freudenthal , Nieuw Archief Voor Wiskunde, Serie 3, Volumen 17, 1969, página 152
- ^ a b Nacido, A .; Hurkens, CAJ; Woeginger, GJ (2006). "El problema de Freudenthal y sus ramificaciones (Parte I)" (PDF) . Boletín de la Asociación Europea de Ciencias de la Computación Teórica, EATCS . 90 : 175-191.
- ^ Gardner, Martin (diciembre de 1979), "Juegos matemáticos: un orgullo de problemas, incluido uno que es virtualmente imposible", Scientific American , 241 : 22-30, doi : 10.1038 / scientificamerican0979-22.
enlaces externos
- El problema imposible de Torsten Sillke
- Problema de dos matemáticos en mathforum
- Problema de suma y producto en MathWorks Cody
- Modelo de verificación de suma y producto
