Función gamma incompleta
En matemáticas , las funciones gamma incompletas superior e inferior son tipos de funciones especiales que surgen como soluciones a varios problemas matemáticos, como ciertas integrales .
Sus respectivos nombres se derivan de sus definiciones integrales, que se definen de manera similar a la función gamma pero con límites integrales diferentes o "incompletos". La función gamma se define como una integral de cero a infinito. Esto contrasta con la función gamma incompleta inferior, que se define como una integral desde cero hasta un límite superior variable. De manera similar, la función gamma superior incompleta se define como una integral desde un límite inferior variable hasta el infinito.
La función gamma incompleta inferior y la función gamma incompleta superior, como se definió anteriormente para s y x positivos reales , se pueden desarrollar en funciones holomorfas , con respecto a x y s , definidas para casi todas las combinaciones de x y s complejas . [1] El análisis complejo muestra cómo las propiedades de las funciones gamma incompletas reales se extienden a sus contrapartes holomorfas.
La aplicación repetida de la relación de recurrencia para la función gamma incompleta inferior conduce a la expansión de la serie de potencias : [2]
Dado el rápido crecimiento en el valor absoluto de Γ( z + k ) cuando k → ∞ , y el hecho de que el recíproco de Γ( z ) es una función entera , los coeficientes en la suma más a la derecha están bien definidos, y localmente la suma converge uniformemente para todos los complejos s y x . Por un teorema de Weierstraß, [2] la función límite, a veces denotada como , [3]
es entero con respecto a z (para s fija ) y s (para z fija ) [4] y, por lo tanto, holomorfo en C × C según el teorema de Hartog [5] . Por lo tanto, la siguiente descomposición
