Prueba por contradicción

En lógica y matemáticas , la prueba por contradicción es una forma de prueba que establece la verdad o la validez de una proposición , mostrando que asumir que la proposición es falsa conduce a una contradicción . Prueba por contradicción también se conoce como prueba indirecta , prueba asumiendo lo contrario y reductio ad impossibile . ^[1]

La prueba por contradicción se basa en la ley de no contradicción, tal como la formalizó Aristóteles como principio metafísico . La no contradicción es también un teorema en lógica proposicional . Esto establece que una afirmación o enunciado matemático no puede ser tanto verdadera como falsa. Es decir, una proposición Q y su negación Q ("no- Q ") no pueden ser ambas verdaderas. En una prueba por contradicción, se muestra que la negación del enunciado que se prueba da como resultado tal contradicción. Tiene la forma de un argumento reductio ad absurdum y, por lo general, procede de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ lnot}$

Dice que si se llega a una declaración falsa a través de una lógica válida a partir de una declaración asumida, entonces la declaración asumida es una declaración falsa. Este hecho se usa en prueba por contradicción.

La prueba por contradicción se formula como , donde hay una contradicción lógica o un enunciado falso (un enunciado cuyo valor de verdad es falso ). Si se llega desde P a través de una lógica válida, entonces se demuestra que es cierto, por lo que p se prueba como verdadero. ${\ Displaystyle {\ text {p}} \ equiv {\ text {p}} \ vee \ bot \ equiv \ lnot \ left (\ lnot {\ text {p}} \ right) \ vee \ bot \ equiv \ lnot {\ text {p}} \ to \ bot}$ ${\ Displaystyle \ bot}$ ${\ Displaystyle \ bot}$ ${\ Displaystyle \ lnot}$ ${\ Displaystyle \ lnot {\ text {p}} \ to \ bot}$

Una forma alternativa de la prueba por contradicción se deriva una contradicción con la afirmación de que se demostró al mostrar que P implica P . Esto es una contradicción, por lo que el supuesto P debe ser falso, equivalentemente P como verdadero. Esto se formula como . ${\ Displaystyle \ lnot}$ ${\ Displaystyle \ lnot}$ ${\ Displaystyle {\ text {p}} \ equiv {\ text {p}} \ vee {\ text {p}} \ equiv \ lnot \ left (\ lnot {\ text {p}} \ right) \ vee { \ text {p}} \ equiv \ lnot {\ text {p}} \ to {\ text {p}}}$

Una prueba de existencia por contradicción supone que algún objeto no existe, y luego prueba que esto conduciría a una contradicción; por tanto, tal objeto debe existir. Aunque se usa con bastante libertad en demostraciones matemáticas, no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan este tipo de prueba no constructiva como universalmente válida.