Principio de Cavalieri
En geometría , el principio de Cavalieri , una implementación moderna del método de los indivisibles , llamado así por Bonaventura Cavalieri , es el siguiente: [1]
Hoy en día, el principio de Cavalieri se ve como un paso temprano hacia el cálculo integral , y aunque se usa en algunas formas, como su generalización en el teorema de Fubini , los resultados que usan el principio de Cavalieri a menudo se pueden mostrar más directamente a través de la integración. En la otra dirección, el principio de Cavalieri surgió del antiguo método griego de agotamiento , que usaba límites pero no infinitesimales .
El principio de Cavalieri se llamó originalmente el método de los indivisibles, el nombre por el que se le conocía en la Europa del Renacimiento . Cavalieri desarrolló una teoría completa de los indivisibles, elaborada en su Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota ( Geometría, avanzada de una manera nueva por los indivisibles de los continuos , 1635) y sus Exercitationes geometricae sex ( Seis ejercicios geométricos , 1647). [2] Si bien el trabajo de Cavalieri estableció el principio, en sus publicaciones negó que el continuo estuviera compuesto de indivisibles en un esfuerzo por evitar las paradojas asociadas y las controversias religiosas, y no lo usó para encontrar resultados previamente desconocidos. [3]
En el siglo III a. C., Arquímedes , utilizando un método parecido al principio de Cavalieri, [4] pudo encontrar el volumen de una esfera dados los volúmenes de un cono y un cilindro en su obra El método de los teoremas mecánicos . En el siglo V d.C., Zu Chongzhi y su hijo Zu Gengzhi establecieron un método similar para encontrar el volumen de una esfera. [5] La transición de los indivisibles de Cavalieri a los infinitesimales de Evangelista Torricelli y John Wallis fue un avance importante en la historia del cálculo . Los indivisibles eran entidades de codimensión1, de modo que se pensó que una figura plana estaba formada por un número infinito de líneas unidimensionales. Mientras tanto, los infinitesimales eran entidades de la misma dimensión que la figura que componen; así, una figura plana estaría hecha de "paralelogramos" de ancho infinitesimal. Aplicando la fórmula para la suma de una progresión aritmética, Wallis calculó el área de un triángulo dividiéndolo en paralelogramos infinitesimales de ancho 1 / ∞.
Si uno sabe que el volumen de un cono es , entonces puede usar el principio de Cavalieri para derivar el hecho de que el volumen de una esfera es , donde está el radio.
