En matemáticas , la codimensión es una idea geométrica básica que se aplica a subespacios en espacios vectoriales , a subvariedades en variedades y subconjuntos adecuados de variedades algebraicas .
Para variedades algebraicas afines y proyectivas , la codimensión es igual a la altura del ideal definitorio . Por esta razón, la altura de un ideal a menudo se denomina codimensión.
El concepto dual es dimensión relativa .
Definición
La codimensión es un concepto relativo : solo se define para un objeto dentro de otro. Hay no es “codimensión de un espacio vectorial (en aislamiento)”, sólo el codimensión de un vector de sub espacio.
Si W es un subespacio lineal de un espacio vectorial de dimensión finita V , entonces la codimensión de W en V es la diferencia entre las dimensiones:
Es el complemento de la dimensión de W, en el sentido de que, con la dimensión de W, se suma a la dimensión del espacio ambiente V:
De manera similar, si N es una subvariedad o subvariedad en M , entonces la codimensión de N en M es
Así como la dimensión de un submanifold es la dimensión del paquete tangente (el número de dimensiones que puede mover en el submanifold), la codimensión es la dimensión del paquete normal (el número de dimensiones que puede mover fuera del submanifold).
De manera más general, si W es un subespacio lineal de un espacio vectorial V (posiblemente de dimensión infinita) , entonces la codimensión de W en V es la dimensión (posiblemente infinita) del espacio cociente V / W , que se conoce de manera más abstracta como el cokernel de la inclusión. Para espacios vectoriales de dimensión finita, esto concuerda con la definición anterior.
y es dual a la dimensión relativa como la dimensión del núcleo .
Los subespacios codimensionales finitos de espacios de dimensión infinita son a menudo útiles en el estudio de espacios vectoriales topológicos .
Aditividad de codimensión y recuento de dimensiones
La propiedad fundamental de la codimensión radica en su relación con la intersección : si W 1 tiene la codimensión k 1 y W 2 tiene la codimensión k 2 , entonces si U es su intersección con la codimensión j , tenemos
- máx. ( k 1 , k 2 ) ≤ j ≤ k 1 + k 2 .
De hecho, j puede tomar cualquier valor entero en este rango. Esta afirmación es más clara que la traducción en términos de dimensiones, porque el RHS es solo la suma de las codimensiones. En palabras
- codimensiones (como máximo) agregar .
- Si los subespacios o subvariedades se cruzan transversalmente (lo que ocurre genéricamente ), las codimensiones se suman exactamente.
Esta afirmación se llama recuento de dimensiones, particularmente en la teoría de la intersección .
Interpretación dual
En términos del espacio dual , es bastante evidente por qué se suman las dimensiones. Los subespacios se pueden definir por la desaparición de un cierto número de funcionales lineales , que si tomamos como linealmente independientes , su número es la codimensión. Por tanto, vemos que U se define tomando la unión de los conjuntos de funcionales lineales que definen W i . Esa unión puede introducir algún grado de dependencia lineal : los posibles valores de j expresan esa dependencia, siendo la suma RHS el caso donde no hay dependencia. Esta definición de codimensión en términos del número de funciones necesarias para cortar un subespacio se extiende a situaciones en las que tanto el espacio ambiental como el subespacio son de dimensión infinita.
En otro lenguaje, que es básico para cualquier tipo de teoría de la intersección , estamos tomando la unión de un cierto número de restricciones . Tenemos dos fenómenos a los que prestar atención:
- los dos conjuntos de restricciones pueden no ser independientes;
- los dos conjuntos de restricciones pueden no ser compatibles.
El primero de estos a menudo se expresa como el principio de contar restricciones : si tenemos un número N de parámetros para ajustar (es decir, tenemos N grados de libertad ), y una restricción significa que tenemos que 'consumir' un parámetro para satisfacerlo, entonces la codimensión del conjunto de soluciones es como máximo el número de restricciones. No esperamos poder encontrar una solución si la codimensión predicha, es decir, el número de restricciones independientes , excede N (en el caso del álgebra lineal, siempre hay una solución vectorial nula , trivial , que por lo tanto se descuenta).
El segundo es una cuestión de geometría, sobre el modelo de líneas paralelas ; es algo que se puede discutir para problemas lineales por métodos de álgebra lineal, y para problemas no lineales en el espacio proyectivo , sobre el campo de números complejos .
En topología geométrica
La codimensión también tiene un significado claro en la topología geométrica : en una variedad, la codimensión 1 es la dimensión de la desconexión topológica por una subvariedad, mientras que la codimensión 2 es la dimensión de la ramificación y la teoría de nudos . De hecho, se puede decir alternativamente que la teoría de las variedades de alta dimensión, que comienza en la dimensión 5 y superior, comienza en la codimensión 3, porque las codimensiones más altas evitan el fenómeno de los nudos. Dado que la teoría de la cirugía requiere trabajar hasta la dimensión media, una vez que uno está en la dimensión 5, la dimensión media tiene una codimensión mayor que 2 y, por lo tanto, se evitan los nudos.
Esta broma no es vacía: el estudio de incrustaciones en codimensión 2 es teoría de nudos y difícil, mientras que el estudio de incrustaciones en codimensión 3 o más es susceptible de las herramientas de topología geométrica de alta dimensión y, por lo tanto, considerablemente más fácil.
Ver también
- Glosario de topología y geometría diferencial
Referencias
- "Codimension" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]