Hay varias notaciones que describen composiciones infinitas, incluidas las siguientes:
Adelante composiciones:
Composiciones al revés:
En cada caso, la convergencia se interpreta como la existencia de los siguientes límites:
Por conveniencia, establezca F n ( z ) = F 1, n ( z ) y G n ( z ) = G 1, n ( z ) .
También se puede escribir y
Sea { f n } una secuencia de funciones analíticas en un dominio S simplemente conectado . Suponga que existe un conjunto compacto Ω ⊂ S tal que para cada n , f n ( S ) ⊂ Ω.
Teorema de composiciones hacia adelante (interior o derecha) - { F n } converge uniformemente en subconjuntos compactos de S a una función constante F ( z ) = λ . [2]
Teorema de composiciones hacia atrás (exterior o izquierda) - { G n } converge uniformemente en subconjuntos compactos de S a γ ∈ Ω si y solo si la secuencia de puntos fijos { γ n } de { f n } converge a γ . [3]
La teoría adicional resultante de las investigaciones basadas en estos dos teoremas, en particular el Teorema de las composiciones hacia adelante, incluye el análisis de ubicación para los límites obtenidos aquí [1] . Para un enfoque diferente del teorema de composiciones hacia atrás, consulte [2] .
Con respecto al teorema de las composiciones hacia atrás, el ejemplo f 2 n ( z ) = 1/2 y f 2 n −1 ( z ) = −1/2 para S = { z : | z | <1} demuestra la insuficiencia de simplemente requerir la contracción en un subconjunto compacto, como el Teorema de composiciones hacia adelante.
Para funciones no necesariamente analíticas, la condición de Lipschitz es suficiente:
Teorema [4] - Suponga es un subconjunto compacto simplemente conectado de y deja ser una familia de funciones que satisfaga
Definir:
Luego
uniformemente en
Si
es el único punto fijo de
luego
uniformemente en
si y solo si
.
Funciones complejas no contractivas
Los resultados [5] que involucran funciones completas incluyen los siguientes, como ejemplos. Colocar
Entonces se mantienen los siguientes resultados:
Teorema E1 [6] - Si a n ≡ 1,
entonces
F n →
F es completo.
Teorema E2 [5] - Establezca ε n = | a n −1 | Supongamos que existe δ n , M 1 , M 2 , R no negativos de manera que se cumple lo siguiente:
Entonces
G n (
z ) →
G (
z ) es analítico para |
z | <
R . La convergencia es uniforme en subconjuntos compactos de {
z : |
z | <
R }.
Los resultados elementales adicionales incluyen:
Teorema GF5 [5] - Seaanalítica para | z | < R 0 , con | g n ( z ) | ≤ C β n ,
Elija 0 <
r <
R 0 y defina
Entonces
F n →
F uniformemente para
Ejemplo GF1 :[3]
Ejemplo GF1: Universo reproductivo - Una imagen topográfica (módulos) de una composición infinita.
Ejemplo GF2 :
Ejemplo GF2: Metrópolis a 30K - Una imagen topográfica (módulos) de una composición infinita.
Transformaciones lineales fraccionarias
Los resultados [5] para composiciones de transformaciones fraccionarias lineales (Möbius) incluyen los siguientes, como ejemplos:
Teorema LFT1 : en el conjunto de convergencia de una secuencia { F n } de LFT no singulares, la función límite es:
- un LFT no singular,
- una función que toma dos valores distintos, o
- una constante.
En (a), la secuencia converge en todas partes del plano extendido. En (b), la secuencia converge en todas partes y al mismo valor en todas partes excepto en un punto, o converge solo en dos puntos. El caso (c) puede ocurrir con todos los posibles conjuntos de convergencia. [7]
Teorema LFT2 [8] - Si { F n } converge a una LFT, entonces f n converge a la función identidad f ( z ) = z .
Teorema LFT3 [9] - Si f n → f y todas las funciones son transformaciones de Möbius hiperbólicas o loxodrómicas , entonces F n ( z ) → λ , una constante, para todos, donde { β n } son los puntos fijos repulsivos del { f n }.
Teorema LFT4 [10] - Si f n → f donde f es parabólico con punto fijo γ . Sean los puntos fijos de { f n } { γ n } y { β n }. Si
entonces
F n (
z ) →
λ , una constante en el plano complejo extendido, para todo
z .
Fracciones continuas
El valor de la fracción continua infinita
puede expresarse como el límite de la secuencia { F n (0)} donde
Como ejemplo simple, un resultado bien conocido (Círculo de Worpitsky * [11] ) se deriva de una aplicación del Teorema (A):
Considere la fracción continua
con
Estipule que | ζ | <1 y | z | < R <1. Entonces para 0 < r <1,
- , analítica para | z | <1. Establezca R = 1/2.
Ejemplo.
Ejemplo: fracción continua1: imagen topográfica (módulos) de una fracción continua (una para cada punto) en el plano complejo. [−15,15]
Ejemplo. [5] A de punto fijo continuó forma de fracción (una sola variable).
Ejemplo: Broche infinito - Imagen topográfica (módulos) de una
forma de fracción continua en el plano complejo. (6
Expansión funcional directa
A continuación, se muestran ejemplos que ilustran la conversión de una función directamente en una composición:
Ejemplo 1. [6] [12] Suponga es una función completa que cumple las siguientes condiciones:
Luego
- .
Ejemplo 2. [6]
Ejemplo 3. [5]
Ejemplo 4. [5]
Cálculo de puntos fijos
El teorema (B) se puede aplicar para determinar los puntos fijos de funciones definidas por expansiones infinitas o ciertas integrales. Los siguientes ejemplos ilustran el proceso:
Ejemplo FP1. [3] Para | ζ | ≤ 1 dejar
Para encontrar α = G (α), primero definimos:
Entonces calcula con ζ = 1, lo que da: α = 0.087118118 ... a diez lugares decimales después de diez iteraciones.
Teorema FP2 [5] - Sea φ ( ζ , t ) analítico en S = { z : | z | < R } para todo t en [0, 1] y continuo en t . Colocar
Si |
φ ( ζ , t ) | ≤
r <
R para
ζ ∈
S y
t ∈ [0, 1], entonces
tiene una solución única,
α en
S , con
Funciones de evolución
Considere un intervalo de tiempo, normalizado a I = [0, 1]. Los ICAF se pueden construir para describir el movimiento continuo de un punto, z , sobre el intervalo, pero de tal manera que en cada "instante" el movimiento sea virtualmente cero (ver Flecha de Zenón ): Para el intervalo dividido en n subintervalos iguales, 1 ≤ k ≤ n conjuntoanalítico o simplemente continuo - en un dominio S , tal que
- para todo ky todo z en S ,
y .
Ejemplo principal [5]
implica
donde la integral está bien definida si tiene una solución de forma cerrada z ( t ). Luego
De lo contrario, el integrando está mal definido, aunque el valor de la integral se calcula fácilmente. En este caso, se podría llamar a la integral una integral "virtual".
Ejemplo.
Ejemplo 1: Túneles virtuales - Imagen topográfica (módulos) de integrales virtuales (una para cada punto) en el plano complejo. [−10,10]
Dos contornos que fluyen hacia un atractivo punto fijo (rojo a la izquierda). El contorno blanco (
c = 2) termina antes de llegar al punto fijo. El segundo contorno (
c (
n ) = raíz cuadrada de
n ) termina en el punto fijo. Para ambos contornos,
n = 10,000
Ejemplo. [13] Sea:
A continuación, establezca y T n ( z ) = T n, n ( z ). Dejar
cuando ese límite existe. La secuencia { T n ( z )} define los contornos γ = γ ( c n , z ) que siguen el flujo del campo vectorial f ( z ). Si existe un punto fijo atractivo α, lo que significa | f ( z ) - α | ≤ ρ | z - α | para 0 ≤ ρ <1, entonces T n ( z ) → T ( z ) ≡ α a lo largo de γ = γ ( c n , z ), siempre que (por ejemplo). Si c n ≡ c > 0, entonces T n ( z ) → T ( z ), un punto en el contorno γ = γ ( c , z ). Se ve fácilmente que
y
cuando existen estos límites.
Estos conceptos están marginalmente relacionados con la teoría activa del contorno en el procesamiento de imágenes y son simples generalizaciones del método de Euler.
Expansiones autorreplicantes
Serie
La serie definida recursivamente por f n ( z ) = z + g n ( z ) tiene la propiedad de que el enésimo término se basa en la suma de los primeros n - 1 términos. Para emplear el teorema (GF3) es necesario mostrar la acotación en el siguiente sentido: Si cada f n se define para | z | < M entonces | G n ( z ) | < M debe seguir antes de | f n ( z ) - z | = | g n ( z ) | ≤ Cβ n se define con fines iterativos. Esto es porqueocurre a lo largo de la expansión. La restricción
sirve para este propósito. Entonces G n ( z ) → G ( z ) uniformemente en el dominio restringido.
Ejemplo (S1). Colocar
y M = ρ 2 . Entonces R = ρ 2 - (π / 6)> 0. Entonces, si, z en S implica | G n ( z ) | < M y se aplica el teorema (GF3), de modo que
converge absolutamente, por lo tanto es convergente.
Ejemplo (S2) :
Ejemplo (S2) - Una imagen topográfica (módulos) de una serie autogenerada.
Productos
El producto definido recursivamente por
tiene la apariencia
Para aplicar el teorema GF3 se requiere que:
Una vez más, una condición de delimitación debe apoyar
Si uno conoce Cβ n de antemano, lo siguiente será suficiente:
Entonces G n ( z ) → G ( z ) uniformemente en el dominio restringido.
Ejemplo (P1). Suponer con observando después de algunos cálculos preliminares, que | z | ≤ 1/4 implica | G n ( z ) | <0,27. Luego
y
converge uniformemente.
Ejemplo (P2).
Ejemplo (P2): Universo de Picasso: una integral virtual derivada de un producto infinito autogenerado. Haga clic en la imagen para obtener una mayor resolución.
Fracciones continuas
Ejemplo (CF1) : una fracción continua autogenerada. [5] [4]
Ejemplo CF1: Rendimientos decrecientes: una imagen topográfica (módulos) de una fracción continua autogenerada.
Ejemplo (CF2) : se describe mejor como una fracción continua de Euler inversa autogenerada . [5]
Ejemplo CF2: Sueño de oro: una imagen topográfica (módulos) de una fracción continua de Euler inversa autogenerada.