Divisibilidad infinita
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La divisibilidad infinita surge de diferentes formas en la filosofía , la física , la economía , la teoría del orden (una rama de las matemáticas) y la teoría de la probabilidad (también una rama de las matemáticas). Se puede hablar de divisibilidad infinita, o la falta de ella, de materia , espacio , tiempo , dinero u objetos matemáticos abstractos como el continuo .

En filosofia

El origen de la idea en la tradición occidental se remonta al siglo V a.C., comenzando con el filósofo presocrático griego antiguo Demócrito y su maestro Leucipo , quienes teorizaron la divisibilidad de la materia más allá de lo que pueden percibir los sentidos hasta terminar en un punto indivisible. átomo. El filósofo indio Kanada también propuso una teoría atomista, sin embargo, existe una ambigüedad en torno a cuándo vivió este filósofo, que va desde algún momento entre el siglo VI y el siglo II a. C.[1] Atomismo se explora en Platón 's diálogo Timeo y también fue apoyada por Aristóteles . Andrew Pyleda una explicación lúcida de la divisibilidad infinita en las primeras páginas de su Atomismo y sus críticas . Allí muestra cómo la divisibilidad infinita implica la idea de que hay algún elemento extendido , como una manzana, que se puede dividir infinitamente muchas veces, donde uno nunca se divide en un punto o en átomos de ningún tipo. Muchos filósofos profesionales [ ¿quién? ] afirman que la divisibilidad infinita implica una colección de un número infinito de elementos (dado que hay divisiones infinitas, debe haber una colección infinita de objetos) o (más raramente), elementos del tamaño de un punto., o ambos. Pyle afirma que las matemáticas de extensiones infinitamente divisibles no involucran a ninguno de estos, que hay divisiones infinitas, pero solo colecciones finitas de objetos y que nunca se dividen en elementos puntuales sin extensión.

Zenón cuestionó cómo puede moverse una flecha si en un momento está aquí e inmóvil y en un momento posterior está en otro lugar e inmóvil.

El razonamiento de Zenón, sin embargo, es falaz cuando dice que si todo cuando ocupa un espacio igual está en reposo, y si lo que está en locomoción ocupa siempre ese espacio en cualquier momento, la flecha voladora está por lo tanto inmóvil. Esto es falso, porque el tiempo no se compone de momentos indivisibles como tampoco cualquier otra magnitud se compone de indivisibles. [2]

-  Aristóteles, Física VI: 9, 239b5

En referencia a la paradoja de Zenón de la flecha en vuelo, Alfred North Whitehead escribe que "un número infinito de actos de devenir puede tener lugar en un tiempo finito si cada acto subsiguiente es más pequeño en una serie convergente": [3]

El argumento, en la medida en que es válido, suscita una contradicción de las dos premisas: (i) que en un devenir algo ( res vera) se convierte, y (ii) que todo acto de devenir es divisible en secciones anteriores y posteriores que son en sí mismas actos de devenir. Considere, por ejemplo, un acto de devenir durante un segundo. El acto es divisible en dos actos, uno durante la primera mitad del segundo y el otro durante la última mitad del segundo. Así, lo que se convierte durante todo el segundo presupone lo que se convierte durante el primer medio segundo. Análogamente, lo que se convierte durante el primer medio segundo presupone lo que se convierte durante el primer cuarto de segundo, y así indefinidamente. Por lo tanto, si consideramos el proceso de devenir hasta el comienzo del segundo en cuestión y preguntamos en qué se convierte entonces, no se puede dar ninguna respuesta. Para,cualquier criatura que indiquemos presupone una criatura anterior que se convirtió después del comienzo de la segunda y antes que la criatura indicada. Por lo tanto, no hay nada que se convierta para efectuar una transición al segundo en cuestión.[3]

- Un punto  blanco, proceso y realidad

En física cuántica

Hasta el descubrimiento de la mecánica cuántica , no se hacía ninguna distinción entre la cuestión de si la materia es infinitamente divisible y la cuestión de si la materia puede cortarse en partes más pequeñas ad infinitum .

Como resultado, la palabra griega átomos ( ἄτομος ), que literalmente significa "indivisible", generalmente se traduce como "indivisible". Mientras que el átomo moderno es ciertamente divisible, en realidad no se puede cortar: no hay una partición del espacio tal que sus partes correspondan a las partes materiales del átomo. En otras palabras, la descripción mecánica cuántica de la materia ya no se ajusta al paradigma del cortador de galletas. [4] Esto arroja nueva luz sobre el antiguo acertijo de la divisibilidad de la materia. La multiplicidad de un objeto material —el número de sus partes— depende de la existencia, no de superficies delimitantes, sino de relaciones espaciales internas (posiciones relativas entre partes), y estas carecen de valores determinados. De acuerdo con laModelo Estándar de la física de partículas, las partículas que componen un átomo- quarks y electrones -son partículas puntuales : que no ocupan espacio. Sin embargo, lo que hace que un átomo ocupe espacio no es una "materia" espacialmente extendida que "ocupa espacio", y que podría cortarse en pedazos cada vez más pequeños, sino la indeterminación de sus relaciones espaciales internas.

El espacio físico a menudo se considera infinitamente divisible: se cree que cualquier región del espacio, por pequeña que sea, podría dividirse aún más. El tiempo también se considera infinitamente divisible.

Sin embargo, el trabajo pionero de Max Planck (1858-1947) en el campo de la física cuántica sugiere que existe, de hecho, una distancia mínima medible (ahora llamada longitud de Planck , 1.616229 (38) × 10 −35 metros) y por lo tanto un intervalo de tiempo mínimo (la cantidad de tiempo que la luz tarda en atravesar esa distancia en el vacío, 5,39116 (13) × 10 −44 segundos, conocido como tiempo de Planck ) más pequeño que el que es imposible realizar una medición significativa . [ cita requerida ]

En economia

Un dólar o un euro, se divide en 100 centavos; sólo se puede pagar en incrementos de un centavo. Es bastante común que los precios de algunos productos básicos como la gasolina estén en incrementos de una décima de centavo por galón o por litro. Si la gasolina cuesta $ 3.979 por galón y uno compra 10 galones, entonces el 9/10 de centavo "extra" equivale a diez veces eso: 9 centavos "extra", por lo que el centavo en ese caso se paga. El dinero es infinitamente divisible en el sentido de que se basa en el sistema de números reales. Sin embargo, las monedas de hoy en día no son divisibles (en el pasado, algunas monedas se pesaban con cada transacción y se consideraban divisibles sin un límite particular en mente). Hay un punto de precisión en cada transacción que es inútil porque cantidades tan pequeñas de dinero son insignificantes para los humanos.Cuanto más se multiplica el precio, más importa la precisión. Por ejemplo, al comprar un millón de acciones, el comprador y el vendedor podrían estar interesados ​​en una décima de centavo de diferencia de precio, pero es solo una opción. Todo lo demás en la medición y elección empresarial es igualmente divisible en la medida en que las partes estén interesadas. Por ejemplo, los informes financieros pueden presentarse anualmente, trimestralmente o mensualmente. Algunos gerentes comerciales ejecutan informes de flujo de caja más de una vez al día.o mensual. Algunos gerentes comerciales ejecutan informes de flujo de caja más de una vez al día.o mensual. Algunos gerentes comerciales ejecutan informes de flujo de caja más de una vez al día.

Aunque el tiempopuede ser infinitamente divisible, los datos sobre los precios de los valores se informan en momentos discretos. Por ejemplo, si uno mira los registros de precios de las acciones en la década de 1920, puede encontrar los precios al final de cada día, pero quizás no a tres centésimas de segundo después de las 12:47 p.m. Sin embargo, teóricamente, un nuevo método podría informar al doble de la tasa, lo que no evitaría mayores aumentos en la velocidad de la información. Quizás paradójicamente, las matemáticas técnicas aplicadas a los mercados financieros suelen ser más sencillas si se utiliza como aproximación el tiempo infinitamente divisible. Incluso en esos casos, se elige una precisión con la que trabajar y las medidas se redondean a esa aproximación. En términos de interacción humana, el dinero y el tiempo son divisibles, pero solo hasta el punto en que una división adicional no tiene valor, punto que no se puede determinar con exactitud.

En orden teoria

Decir que el campo de los números racionales es infinitamente divisible (es decir, un orden teóricamente denso ) significa que entre dos números racionales cualesquiera hay otro número racional. Por el contrario, el anillo de números enteros no es infinitamente divisible.

La divisibilidad infinita no implica ausencia de brecha: los racionales no disfrutan de la propiedad del límite superior mínimo . Eso significa que si uno tuviera que dividir los racionales en dos conjuntos no vacíos A y B donde A contiene todos los racionales menos que algún número irracional ( π , digamos) y B todos los racionales mayores que él, entonces A no tiene el miembro más grande y B no tiene ningún miembro más pequeño. El campo de los números reales , por el contrario, es infinitamente divisible y sin espacios. Cualquier conjunto ordenado linealmente que sea infinitamente divisible y sin espacios, y que tenga más de un miembro, esincontablemente infinito . Para obtener una prueba, consulte la primera prueba de incontablecimiento de Cantor . La divisibilidad infinita por sí sola implica infinitud pero no incontables, como ejemplifican los números racionales.

En distribuciones de probabilidad

Artículo principal: divisibilidad infinita (probabilidad)

Decir que una distribución de probabilidad F en la línea real es infinitamente divisible significa que si X es cualquier variable aleatoria cuya distribución sea F , entonces para cada entero positivo n existen n variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica X 1 , ..., X n cuya suma es igual en distribución a X (esas n otras variables aleatorias no suelen tener la misma distribución de probabilidad que X ).

La distribución de Poisson , la distribución de Poisson tartamudeante, [ cita requerida ] la distribución binomial negativa y la distribución Gamma son ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles, al igual que la distribución normal , la distribución de Cauchy y todos los demás miembros de la familia de distribución estable . La distribución normal asimétrica es un ejemplo de una distribución divisible no infinitamente. (Ver Domínguez-Molina y Rocha Arteaga (2007).)

Toda distribución de probabilidad infinitamente divisible corresponde de manera natural a un proceso de Lévy , es decir, un proceso estocástico { X t  : t ≥ 0} con incrementos independientes estacionarios ( estacionario significa que para s < t , la distribución de probabilidad de X t - X s depende solo de t - s ; incrementos independientes significa que esa diferencia es independiente de la diferencia correspondiente en cualquier intervalo que no se superponga con [ s ,t ], y de manera similar para cualquier número finito de intervalos).

Este concepto de divisibilidad infinita de distribuciones de probabilidad fue introducido en 1929 por Bruno de Finetti .

Ver también

  • Grupo divisible , un grupo matemático en el que cada elemento es un múltiplo arbitrario de algún otro elemento.
  • Distribución indecomponible
  • Rebanar salami
  • Las paradojas de Zenón

Referencias

  1. ^ Educación, Pearson (2016). El trampolín de la ciencia 9º . ISBN 9789332585164.
  2. ^ Aristóteles. "Física" . El Archivo de Clásicos de Internet .
  3. ↑ a b Ross, SD (1983). Perspectiva en la metafísica de Whitehead . Serie Suny en Filosofía Sistemática. Prensa de la Universidad Estatal de Nueva York. pp.  182 -183. ISBN 978-0-87395-658-1. LCCN  82008332 .
  4. ^ Ulrich Mohrhoff (2000). "Mecánica cuántica y el paradigma del cortador de galletas". arXiv : quant-ph / 0009001v2 .
  • Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) "Sobre la divisibilidad infinita de algunas distribuciones simétricas sesgadas". Estadísticas y letras de probabilidad , 77 (6), 644–648 doi : 10.1016 / j.spl.2006.09.014

enlaces externos

  • Anidación jerárquica infinita de la materia (traducción de la página de Wikipedia en ruso)
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