Teorema del valor inicial

En análisis matemático , el teorema del valor inicial es un teorema que se utiliza para relacionar expresiones en el dominio de la frecuencia con el comportamiento en el dominio del tiempo cuando el tiempo se acerca a cero . ^[1]

También se conoce con la abreviatura IVT.

Dejar

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$

sea ​​la transformada de Laplace (unilateral) de ƒ ( t ). Si está limitado a (o simplemente ) y existe, entonces el teorema del valor inicial dice ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle f(t)=O(e^{ct})}$${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)}$

${\displaystyle \lim _{t\,\to \,0}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

Prueba

Supongamos primero que está acotado. Decir . Un cambio de variable en la integral muestra que ${\displaystyle f}$${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\alpha }$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$

${\displaystyle sF(s)=\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}\,dt}$.

Dado que está acotado, el teorema de convergencia dominada muestra que${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\int _{0}^{\infty }\alpha e^{-t}\,dt=\alpha .}$

Por supuesto, no necesitamos DCT aquí, se puede dar una prueba muy simple usando solo cálculo elemental:

Comience eligiendo eso , y luego anótelo de manera uniforme para ).${\displaystyle A}$${\displaystyle \int _{A}^{\infty }e^{-t}\,dt<\epsilon }$${\displaystyle \lim _{s\to \infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)=\alpha }$ ${\displaystyle t\in (0,A]}$

El teorema asumiendo que se sigue del teorema para acotado : Definir . Entonces está acotado, así que lo hemos demostrado . Pero y , entonces${\displaystyle f(t)=O(e^{ct})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g(t)=e^{-ct}f(t)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(0^{+})=\lim _{s\to \infty }sG(s)}$${\displaystyle f(0^{+})=g(0^{+})}$${\displaystyle G(s)=F(s+c)}$

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\to \infty }(s-c)F(s)=\lim _{s\to \infty }sF(s+c)=\lim _{s\to \infty }sG(s),}$

desde ${\displaystyle \lim _{s\to \infty }F(s)=0}$

Ver también

• Teorema del valor final

Notas

1. http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html
2. Robert H. Cannon, Dinámica de los sistemas físicos , Publicaciones de Courier Dover , 2003, página 567.

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