En el análisis matemático , el teorema del valor final (FVT) es uno de varios teoremas similares que se utilizan para relacionar las expresiones en el dominio de la frecuencia con el comportamiento en el dominio del tiempo cuando el tiempo se acerca al infinito. [1] [2] [3] [4] Matemáticamente, sien tiempo continuo tiene (unilateral) transformada de Laplace entonces un teorema del valor final establece condiciones bajo las cuales
Asimismo, si en tiempo discreto tiene transformada Z (unilateral) entonces un teorema del valor final establece condiciones bajo las cuales
Un teorema del valor final de Abeliano hace suposiciones sobre el comportamiento en el dominio del tiempo de (o ) calcular . Por el contrario, un teorema del valor final de Tauberian hace suposiciones sobre el comportamiento en el dominio de la frecuencia de calcular (o ) (véanse los teoremas de Abeliano y Tauberiano para transformaciones integrales ).
Teoremas del valor final para la transformada de Laplace
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En las siguientes declaraciones, la notación '' significa que se acerca a 0, mientras que '' significa que se aproxima a 0 a través de los números positivos.
Teorema del valor final estándar
Supongamos que cada polo de está en el semiplano izquierdo abierto o en el origen, y que tiene como máximo un solo polo en el origen. Luego como , y . [5]
Teorema del valor final usando la transformada de Laplace de la derivada
Suponer que y ambos tienen transformadas de Laplace que existen para todos . Si existe y existe entonces . [3] : Teorema 2.36 [4] : 20 [6]
Observación
Ambos límites deben existir para que se mantenga el teorema. Por ejemplo, si luego no existe, pero . [3] : Ejemplo 2.37 [4] : 20
Teorema del valor final inverso de Tauber mejorado
Suponer que es acotado y diferenciable, y que también se limita a . Si como luego . [7]
Teorema extendido del valor final
Supongamos que cada polo de está en el semiplano izquierdo abierto o en el origen. Entonces ocurre una de las siguientes situaciones:
- como , y .
- como , y como .
- como , y como .
En particular, si es un polo múltiple de entonces se aplica el caso 2 o 3 ( o ). [5]
Teorema del valor final generalizado
Suponer que es Laplace transformable. Dejar. Si existe y existe entonces
dónde denota la función Gamma . [5]
Aplicaciones
Teoremas del valor final para obtener tienen aplicaciones para establecer la estabilidad a largo plazo de un sistema .
Deducir
Teorema del valor final de Abeliano
Suponer que es acotado y medible y . Luego existe para todos y . [7]
Prueba elemental [7]
Supongamos por conveniencia que en , y deja . Dejar, y elige así que eso para todos . Desde, para cada tenemos
por eso
Ahora para cada tenemos
- .
Por otro lado, desde está arreglado, está claro que , y entonces Si es lo suficientemente pequeño.
Teorema del valor final usando la transformada de Laplace de la derivada
Suponga que se cumplen todas las condiciones siguientes:
- es continuamente diferenciable y tanto y tener una transformada de Laplace
- es absolutamente integrable, es decir es finito
- existe y es finito
Luego
- . [8]
Observación
La demostración usa el teorema de convergencia dominada . [8]
Teorema del valor final para la media de una función
Dejar ser una función continua y acotada tal que exista el siguiente límite
Luego . [9]
Teorema del valor final para sumas asintóticas de funciones periódicas
Suponer que es continuo y absolutamente integrable en . Supongamos además que es asintóticamente igual a una suma finita de funciones periódicas , es decir
dónde es absolutamente integrable en y se desvanece en el infinito. Luego
- . [10]
Teorema del valor final para una función que diverge hasta el infinito
Dejar y ser la transformada de Laplace de . Suponer que cumple todas las condiciones siguientes:
- es infinitamente diferenciable en cero
- tiene una transformada de Laplace para todos los enteros no negativos
- diverge hasta el infinito como
Luego diverge hasta el infinito como . [11]
Teorema del valor final para funciones impropiamente integrables ( teorema de Abel para integrales)
Dejar ser medible y tal que la integral (posiblemente inadecuada) converge para . Luego
Ésta es una versión del teorema de Abel .
Para ver esto, note que y aplicar el teorema del valor final a después de una integración por partes : Para,
Por el teorema del valor final, el lado izquierdo converge a por .
Establecer la convergencia de la integral impropia en la práctica, la prueba de Dirichlet para integrales impropias suele ser útil. Un ejemplo es la integral de Dirichlet .
Aplicaciones
Teoremas del valor final para obtener tienen aplicaciones en probabilidad y estadística para calcular los momentos de una variable aleatoria . Dejar ser función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua y deja ser la transformada de Laplace-Stieltjes de. Entonces el-ésimo momento de se puede calcular como
La estrategia es escribir
dónde es continuo y para cada , para una función . Para cada, poner como la transformada inversa de Laplace de, obtener y aplicar un teorema del valor final para deducir . Luego
y por lo tanto es obtenido.
Ejemplos de
Ejemplo donde se mantiene FVT
Por ejemplo, para un sistema descrito por función de transferencia
y así la respuesta de impulso converge a
Es decir, el sistema vuelve a cero después de haber sido perturbado por un impulso corto. Sin embargo, la transformada de Laplace de la respuesta al escalón unitario es
y así la respuesta al escalón converge a
y así, un sistema de estado cero seguirá un aumento exponencial hasta un valor final de 3.
Ejemplo donde FVT no se mantiene
Para un sistema descrito por la función de transferencia
el teorema del valor final parece predecir que el valor final de la respuesta al impulso es 0 y el valor final de la respuesta al escalón es 1. Sin embargo, no existe ningún límite en el dominio del tiempo, por lo que las predicciones del teorema del valor final no son válidas. De hecho, tanto la respuesta al impulso como la respuesta al escalón oscilan y (en este caso especial) el teorema del valor final describe los valores promedio alrededor de los cuales oscilan las respuestas.
Hay dos comprobaciones realizadas en la teoría de control que confirman resultados válidos para el teorema del valor final:
- Todas las raíces distintas de cero del denominador de debe tener partes reales negativas.
- no debe tener más de un polo en el origen.
La regla 1 no se cumplió en este ejemplo, ya que las raíces del denominador son y .
Teoremas del valor final para la transformada Z
Deducir
Teorema del valor final
Si existe y existe entonces . [4] : 101
Ver también
Notas
- ↑ Wang, Ruye (17 de febrero de 2010). "Teoremas del valor inicial y final" . Consultado el 21 de octubre de 2011 .
- ^ Alan V. Oppenheim; Alan S. Willsky; S. Hamid Nawab (1997). Señales y Sistemas . Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice Hall. ISBN 0-13-814757-4.
- ^ a b c Schiff, Joel L. (1999). La transformada de Laplace: teoría y aplicaciones . Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4757-7262-3.
- ^ a b c d Graf, Urs (2004). Transformadas de Laplace aplicadas y transformadas z para científicos e ingenieros . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2427-9.
- ^ a b c Chen, Jie; Lundberg, Kent H .; Davison, Daniel E .; Bernstein, Dennis S. (junio de 2007). "El teorema del valor final revisado - límites infinitos y función irracional". Revista IEEE Control Systems . 27 (3): 97–99. doi : 10.1109 / MCS.2007.365008 .
- ^ "Teorema del valor final de la transformada de Laplace" . ProofWiki . Consultado el 12 de abril de 2020 .
- ^ a b c Ullrich, David C. (26 de mayo de 2018). "El teorema del valor final tauberiano" . Intercambio de pila de matemáticas .
- ^ a b Sopasakis, Pantelis (18 de mayo de 2019). "Una prueba del teorema del valor final utilizando el teorema de convergencia dominada" . Intercambio de pila de matemáticas .
- ^ Murthy, Kavi Rama (7 de mayo de 2019). "Versión alternativa del teorema del valor final para la transformada de Laplace" . Intercambio de pila de matemáticas .
- ^ Gluskin, Emanuel (1 de noviembre de 2003). "Enseñemos esta generalización del teorema del valor final". Revista europea de física . 24 (6): 591–597. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 24/6/005 .
- ^ Hew, Patrick (22 de abril de 2020). "¿Teorema del valor final para la función que diverge hasta el infinito?" . Intercambio de pila de matemáticas .
enlaces externos
- [1]
- http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Valor final para Laplace
- https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf Prueba de valor final para transformaciones Z