Medida interior

En matemáticas , en particular en la teoría de la medida , una medida interna es una función del conjunto de potencias de un conjunto dado , con valores en los números reales extendidos , que satisface algunas condiciones técnicas. Intuitivamente, la medida interna de un conjunto es un límite inferior del tamaño de ese conjunto.

Sea una σ-álgebra sobre un conjunto y sea una medida en Entonces la medida interna inducida por está definida por ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ Sigma.}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$

Esencialmente da un límite inferior del tamaño de cualquier conjunto asegurándose de que sea al menos tan grande como la medida de cualquiera de sus subconjuntos medibles. Aunque la función de conjunto no suele ser una medida, comparte las siguientes propiedades con las medidas: ${\ Displaystyle \ mu _ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {*}}$

Las medidas internas inducidas se utilizan a menudo en combinación con medidas externas para extender una medida a un σ-álgebra más grande. Si es una medida finita definida en un σ-álgebra sobre y y son las correspondientes medidas externas e internas inducidas, entonces los conjuntos que forman un σ-álgebra con . ^[1] La función establecida definida por ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mu ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {*}}$ ${\ Displaystyle T \ in 2 ^ {X}}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {*} (T) = \ mu ^ {*} (T)}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ Sigma}}}$ ${\ Displaystyle \ Sigma \ subseteq {\ hat {\ Sigma}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mu}}}$