En el campo matemático de la teoría de la medida , una medida exterior o medida exterior es una función definida en todos los subconjuntos de un conjunto dado con valores en los números reales extendidos que satisfacen algunas condiciones técnicas adicionales. La teoría de las medidas externas fue introducida por primera vez por Constantin Carathéodory para proporcionar una base abstracta para la teoría de conjuntos medibles y medidas contablemente aditivas . [1] [2] El trabajo de Carathéodory sobre medidas externas encontró muchas aplicaciones en la teoría de conjuntos de la teoría de medidas.(las medidas externas se usan, por ejemplo, en la demostración del teorema de extensión fundamental de Carathéodory ), y Hausdorff las usó de manera esencial para definir una invariante métrica similar a una dimensión que ahora se llama dimensión de Hausdorff . Las medidas externas se utilizan comúnmente en el campo de la teoría de medidas geométricas .
Las medidas son generalizaciones de longitud, área y volumen, pero son útiles para conjuntos mucho más abstractos e irregulares que los intervalos en R o las bolas en R 3 . Se podría esperar definir una función de medición generalizada φ en R que cumpla con los siguientes requisitos:
- Cualquier intervalo de reales [ a , b ] tiene medida b - a
- El φ función de medición es un no negativo extendió función real definida para todos los subconjuntos de R .
- Invarianza de traslación: para cualquier conjunto A y cualquier x real , los conjuntos A y A + x tienen la misma medida (donde)
- Aditividad contable : para cualquier secuencia ( A j ) de subconjuntos disjuntos por pares de R
Resulta que estos requisitos son condiciones incompatibles; ver conjunto no medible . El propósito de construir una medida externa en todos los subconjuntos de X es seleccionar una clase de subconjuntos (que se llamarán medibles ) de tal manera que satisfaga la propiedad de aditividad contable.
Medidas exteriores
Dado un conjunto X , sea 2 X la colección de todos los subconjuntos de X , incluido el conjunto vacío ∅ . Una medida exterior en X es una función
tal que
- μ (∅) = 0
- para subconjuntos arbitrarios A , B 1 , B 2 , ... de X ,
Tenga en cuenta que no hay sutileza sobre la suma infinita en esta definición. Dado que se supone que todos los sumandos no son negativos, la secuencia de sumas parciales solo podría divergir aumentando sin límite. Entonces, la suma infinita que aparece en la definición siempre será un elemento bien definido de [0, ∞] . Si, en cambio, se permitiera que una medida externa tomara valores negativos, su definición tendría que modificarse para tener en cuenta la posibilidad de sumas infinitas no convergentes.
Una definición alternativa y equivalente. [3] Algunos libros de texto, como Halmos (1950), en cambio definen una medida exterior en X como una función μ : 2 X → [0, ∞] tal que
- μ (∅) = 0
- si A y B son subconjuntos de X con A ⊂ B , entonces μ ( A ) ≤ μ ( B )
- para subconjuntos arbitrarios B 1 , B 2 , ... de X , uno tiene
Prueba de equivalencia. |
Suponga que μ es una medida externa en el sentido dado originalmente anteriormente. Si A y B son subconjuntos de X con A ⊂ B , entonces al apelar a la definición con B 1 = B y B j = ∅ para todo j ≥ 2 , se encuentra que μ ( A ) ≤ μ ( B ) . La tercera condición en la definición alternativa es inmediata de la observación trivial de que ∪ j B j ⊂ ∪ j B j . Supongamos, en cambio, que μ es una medida externa en la definición alternativa. Sean A , B 1 , B 2 , ... subconjuntos arbitrarios de X , y suponga que Entonces uno tiene con la primera desigualdad que sigue a la segunda condición en la definición alternativa, y la segunda desigualdad que sigue a la tercera condición en la definición alternativa. Entonces μ es una medida externa en el sentido de la definición original. |
Mensurabilidad de conjuntos en relación con una medida exterior
Sea X un conjunto con una medida exterior μ . Se dice que un subconjunto E de X es μ -medible (a veces " Carathéodory -medible en relación con μ ") si y solo si
para cada subconjunto A de X .
De manera informal, esto dice que un subconjunto medible μ es uno que puede usarse como un bloque de construcción, rompiendo cualquier otro subconjunto en pedazos (es decir, la pieza que está dentro del conjunto medible junto con la pieza que está fuera del conjunto medible colocar). En términos de la motivación para la teoría de la medida, uno esperaría que el área , por ejemplo, debería ser una medida exterior en el plano. Entonces, uno podría esperar que cada subconjunto del plano se considere "medible", siguiendo el principio esperado de que
siempre que A y B sean subconjuntos disjuntos del plano. Sin embargo, el desarrollo lógico formal de la teoría muestra que la situación es más complicada. Una implicación formal del axioma de elección es que para cualquier definición de área como medida externa que incluya como caso especial la fórmula estándar para el área de un rectángulo, debe haber subconjuntos del plano que no sean medibles. En particular, el "principio esperado" anterior es falso, siempre que se acepte el axioma de elección.
El espacio de medida asociado a una medida exterior
Es sencillo utilizar la definición anterior de μ -measurability para ver que
- si A ⊂ X es μ- medible, entonces su complemento X - A ⊂ X también es μ- medible.
La siguiente condición se conoce como la " aditividad contable de μ en subconjuntos medibles".
- si A 1 , A 2 , ... son μ- subconjuntos medibles de X y A i ∩ A j está vacío siempre que i ≠ j , entonces uno tiene
Prueba de aditividad contable. |
Uno tiene automáticamente la conclusión en la forma " ≤ " de la definición de medida exterior. Por lo que solo es necesario probar la desigualdad " ≥ ". Uno tiene para cualquier número positivo N , debido a la segunda condición en la "definición alternativa" de medida exterior dada anteriormente. Supongamos (inductivamente) que Aplicando la definición anterior de medición μ con A = A 1 ∪ ⋅⋅⋅ ∪ A N y con E = A N , uno tiene que cierra la inducción. Volviendo a la primera línea de la prueba, uno tiene para cualquier número entero positivo N . Luego, se puede enviar N al infinito para obtener la desigualdad " ≥ " requerida . |
Una prueba similar muestra que:
- si A 1 , A 2 , ... son μ- subconjuntos medibles de X , entonces la unión ∪ j ∈ ℕ A j y la intersección ∩ j ∈ ℕ A j también son μ- medibles.
Las propiedades dadas aquí se pueden resumir con la siguiente terminología:
Dada cualquier medida externa μ en un conjunto X , la colección de todos los subconjuntos μ medibles de X es un σ-álgebra . La restricción de μ a esta σ-álgebra es una medida.
Uno por lo tanto tiene una estructura espacio de medida en X , que surge naturalmente de la especificación de una medida externa en X . Este espacio de medida tiene la propiedad adicional de integridad , que se incluye en la siguiente declaración:
- Todo subconjunto A ⊂ X tal que μ ( A ) = 0 es μ- medible.
Esto es fácil de probar utilizando la segunda propiedad en la "definición alternativa" de medida exterior.
Restricción y avance de una medida exterior
Vamos μ una medida exterior sobre el conjunto X .
Empujar hacia adelante
Dado otro conjunto Y y un mapa f : X → Y , defina f # μ : 2 Y → [0, ∞] por
Uno puede verificar directamente de las definiciones que f # μ es una medida exterior en Y .
Restricción
Deje que B sea un subconjunto de X . Defina μ B : 2 X → [0, ∞] por
Se puede comprobar directamente de las definiciones que μ B es otra medida exterior en X .
Medibilidad de conjuntos en relación con un empuje hacia adelante o una restricción
Si un subconjunto A de X es μ medible, entonces también es μ B medible para cualquier subconjunto B de X .
Dado un mapa f : X → Y y un subconjunto A de Y , si f −1 ( A ) es μ -mensurable, entonces A es f # μ -mensurable. Más en general, f -1 ( A ) es μ medible si y sólo si A es f # ( μ B ) medible para cada subconjunto B de X .
Medidas exteriores regulares
Definición de una medida exterior regular
Dado un conjunto X , se dice que una medida externa μ en X es regular si cualquier subconjunto puede aproximarse "desde el exterior" mediante μ conjuntos medibles. Formalmente, esto requiere cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- para cualquier subconjunto A de X y cualquier número positivo ε , existe un subconjunto B medible μ de X que contiene A y con μ ( B ) < μ ( A ) + ε .
- para cualquier subconjunto A de X , existe un subconjunto B de X medible μ que contiene A y tal que μ ( B ) = μ ( A ) .
Es automático que la segunda condición implique la primera; el primero implica el segundo al considerar la intersección de una secuencia minimizadora de subconjuntos.
La medida exterior regular asociada a una medida exterior
Dada una medida externa μ en un conjunto X , defina ν : 2 X → [0, ∞] por
Entonces ν es una medida exterior regular en X que asigna la misma medida que μ a todos mu subconjuntos -medibles de X . Cada subconjunto μ -medible es también ν -medible, y cada ν- subconjunto medible de finita ν -medida también es μ- medible.
Por tanto, el espacio de medida asociado a ν puede tener un σ-álgebra mayor que el espacio de medida asociado a μ . Las restricciones de ν y μ al σ-álgebra más pequeña son idénticas. Los elementos del σ-álgebra más grande que no están contenidos en el σ-álgebra más pequeña tienen una medida ν infinita y una medida μ finita .
Desde esta perspectiva, ν puede considerarse como una extensión de μ .
Medida exterior y topología
Supongamos que (X, d) es un espacio métrico y varphi una medida exterior en X . Si φ tiene la propiedad de que
cuando sea
entonces φ se llama medida exterior métrica .
Teorema . Si φ es una medida exterior métrica en X , entonces cada subconjunto de Borel de X es φ- medible. (Los conjuntos de Borel de X son los elementos de la σ -álgebra más pequeña generada por los conjuntos abiertos).
Construcción de medidas exteriores
Existen varios procedimientos para construir medidas exteriores en un conjunto. La referencia clásica de Munroe a continuación describe dos particularmente útiles que se denominan Método I y Método II .
Método I
Sea X un conjunto, C una familia de subconjuntos de X que contiene el conjunto vacío yp una función de valor real extendida no negativa en C que desaparece en el conjunto vacío.
Teorema . Suponga que la familia C y la función p son como arriba y definen
Es decir, el infimum se extiende a todas las secuencias {A i } de elementos de C que cubren E , con la convención de que el infimum es infinito si no existe tal secuencia. Entonces φ es una medida externa en X .
Método II
La segunda técnica es más adecuada para construir medidas exteriores en espacios métricos, ya que produce medidas exteriores métricas. Suponga que (X, d) es un espacio métrico. Como arriba, C es una familia de subconjuntos de X que contiene el conjunto vacío yp una función de valor real extendida no negativa en C que desaparece en el conjunto vacío. Para cada δ> 0 , sea
y
Obviamente, φ δ ≥ φ δ ' cuando δ ≤ δ' ya que el mínimo se toma sobre una clase más pequeña a medida que δ disminuye. Por lo tanto
existe (posiblemente infinito).
Teorema . φ 0 es una medida exterior métrica en X .
Esta es la construcción utilizada en la definición de medidas de Hausdorff para un espacio métrico.
Ver también
Notas
- ^ Carathéodory 1968
- ^ Aliprantis y Border 2006 , págs. S379
- ↑ La definición original dada arriba sigue los textos ampliamente citados de Federer y de Evans y Gariepy. Tenga en cuenta que ambos libros utilizan terminología no estándar para definir una "medida" como lo que aquí se denomina una "medida exterior".
Referencias
- Aliprantis, CD; Frontera, KC (2006). Análisis dimensional infinito (3ª ed.). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag . ISBN 3-540-29586-0.
- Carathéodory, C. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (en alemán) (3ª ed.). Chelsea Publishing . ISBN 978-0828400381.
- Evans, Lawrence C .; Gariepy, Ronald F. (2015). Mide la teoría y las propiedades finas de las funciones. Edición revisada . Libros de texto de matemáticas . CRC Press, Boca Raton, FL. págs. xiv + 299. ISBN 978-1-4822-4238-6.
- Federer, H. (1996) [1969]. Teoría de la medida geométrica . Classics in Mathematics (1ª ed. Reimpresión ed.). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag . ISBN 978-3540606567.
- Halmos, P. (1978) [1950]. Teoría de la medida . Textos de Posgrado en Matemáticas (2ª ed.). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
- Munroe, ME (1953). Introducción a la medida y la integración (1ª ed.). Addison Wesley . ISBN 978-1124042978.
- Kolmogorov, AN ; Fomin, SV (1970). Introducción al análisis real . Richard A. Silverman traducido. Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-61226-0.
enlaces externos
- Medida exterior en Encyclopedia of Mathematics
- Medida de caratheodory en Encyclopedia of Mathematics