Centro de rotación instantáneo

Point fixed to a body undergoing planar movement

Croquis 1: Centro instantáneo P de un plano en movimiento

El centro instantáneo de rotación (también, centro de velocidad instantánea , ^[1] centro instantáneo o centro instantáneo ) es el punto fijo a un cuerpo que experimenta un movimiento plano que tiene velocidad cero en un instante particular de tiempo. En este instante, los vectores de velocidad de los otros puntos del cuerpo generan un campo circular alrededor de este punto idéntico al que genera una rotación pura.

El movimiento plano de un cuerpo a menudo se describe utilizando una figura plana que se mueve en un plano bidimensional . El centro instantáneo es el punto en el plano en movimiento alrededor del cual giran todos los demás puntos en un instante específico de tiempo.

El movimiento continuo de un avión tiene un centro instantáneo para cada valor del parámetro de tiempo. Esto genera una curva llamada del movimiento centrodas . Los puntos en el plano fijo correspondientes a estos centros instantáneos forman el centrodo fijo.

La generalización de este concepto al espacio tridimensional es la de un giro alrededor de un tornillo. El tornillo tiene un eje que es una línea en el espacio 3D (no necesariamente a través del origen), y el tornillo también tiene un paso finito (una traslación fija a lo largo de su eje correspondiente a una rotación alrededor del eje del tornillo).

Polo de un desplazamiento plano

Croquis 2: Polo de un desplazamiento plano

El centro instantáneo puede considerarse el caso límite del polo de un desplazamiento plano.

El desplazamiento plano de un cuerpo desde la posición 1 a la posición 2 se define mediante la combinación de una rotación plana y una traslación plana . Para cualquier desplazamiento plano hay un punto en el cuerpo en movimiento que está en el mismo lugar antes y después del desplazamiento. Este punto es el polo del desplazamiento plano y el desplazamiento puede verse como una rotación alrededor de este polo.

Construcción para el polo de un desplazamiento plano: Primero, seleccione dos puntos A y B en el cuerpo móvil y ubique los puntos correspondientes en las dos posiciones; vea la ilustración. Construya las bisectrices perpendiculares a los dos segmentos A ¹ A ² y B ¹ B ² . La intersección P de estas dos bisectrices es el polo del desplazamiento plano. Observe que A ¹ y A ^{2 se} encuentran en un círculo alrededor de P. Esto es cierto para las posiciones correspondientes de cada punto del cuerpo.

Si las dos posiciones de un cuerpo están separadas por un instante de tiempo en un movimiento plano, entonces el polo de un desplazamiento se convierte en el centro instantáneo. En este caso, los segmentos construidos entre las posiciones instantáneas de los puntos A y B se convierten en los vectores de velocidad V _A y V _B . Las líneas perpendiculares a estos vectores de velocidad se cruzan en el centro instantáneo.

La construcción algebraica de las coordenadas cartesianas se puede organizar de la siguiente manera: El punto medio entre y tiene las coordenadas cartesianas.${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$${\displaystyle A^{1}}$${\displaystyle A^{2}}$

${\displaystyle A_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{x}^{1}+A_{x}^{2}\right);\quad A_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{y}^{1}+A_{y}^{2}\right),}$

y el punto medio entre y tiene las coordenadas cartesianas${\displaystyle B^{1}}$${\displaystyle B^{2}}$

${\displaystyle B_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{x}^{1}+B_{x}^{2}\right);\quad B_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{y}^{1}+B_{y}^{2}\right).}$

Los dos ángulos de a y desde a medido en sentido antihorario respecto a la horizontal están determinadas por${\displaystyle A^{1}}$${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle B^{1}}$${\displaystyle B^{2}}$

${\displaystyle \tan \tau _{A}={\frac {A_{y}^{2}-A_{y}^{1}}{A_{x}^{2}-A_{x}^{1}}},\quad \tan \tau _{B}={\frac {B_{y}^{2}-B_{y}^{1}}{B_{x}^{2}-B_{x}^{1}}},}$

tomando las ramas correctas de la tangente . Deje que el centro de la rotación tenga distancias y a los dos puntos medios. Suponiendo una rotación en el sentido de las agujas del reloj (de lo contrario, cambie el signo de ):${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle d_{B}}$${\displaystyle \pi /2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{x}&=A_{x}^{m}+d_{A}\cos \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{x}^{m}+d_{B}\cos \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right);\\P_{y}&=A_{y}^{m}+d_{A}\sin \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{y}^{m}+d_{B}\sin \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Reescriba esto como un sistema 4 × 4 no homogéneo de ecuaciones lineales con 4 incógnitas (las dos distancias y las dos coordenadas del centro):${\displaystyle d}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&-\sin \tau _{A}&0\\1&0&0&-\sin \tau _{B}\\0&1&\cos \tau _{A}&0\\0&1&0&\cos \tau _{B}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}^{m}\\B_{x}^{m}\\A_{y}^{m}\\B_{y}^{m}\end{pmatrix}}.}$

Las coordenadas del centro de la rotación son los dos primeros componentes del vector solución

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin \left(\tau _{A}-\tau _{B}\right)}}{\begin{pmatrix}\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\sin \tau _{B}+B_{x}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-A_{x}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}\cos \tau _{B}+A_{y}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-B_{y}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{B}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\\\end{pmatrix}}.}$

Traducción pura

Si el desplazamiento entre dos posiciones es una traslación pura, entonces las bisectrices perpendiculares de los segmentos A ¹ B ¹ y A ² B ² forman líneas paralelas. Se considera que estas líneas se cruzan en un punto de la línea en el infinito , por lo que se dice que el polo de este desplazamiento plano "se encuentra en el infinito" en la dirección de las bisectrices perpendiculares.

En el límite, la traslación pura se convierte en un movimiento plano con vectores de velocidad puntuales que son paralelos. En este caso, se dice que el centro instantáneo se encuentra en el infinito en la dirección perpendicular a los vectores de velocidad.

Centro instantáneo de una rueda rodando sin resbalar

Boceto 3: Rueda rodante.

Considere el movimiento plano de una rueda circular que rueda sin resbalar en una carretera lineal; ver croquis 3. La rueda gira alrededor de su eje M, que se traslada en una dirección paralela a la carretera. El punto de contacto P de la rueda con la carretera no patina, lo que significa que el punto P tiene velocidad cero con respecto a la carretera. Así, en el instante en que el punto P de la rueda entra en contacto con la carretera, se convierte en un centro instantáneo.

El conjunto de puntos de la rueda en movimiento que se convierten en centros instantáneos es el círculo mismo, que define el centro de movimiento. Los puntos en el plano fijo que corresponden a estos centros instantáneos es la línea de la carretera, que define el centrode fijo.

El vector de velocidad de un punto A en la rueda es perpendicular al segmento AP y es proporcional a la longitud de este segmento. En particular, las velocidades de los puntos de la rueda están determinadas por la velocidad angular de la rueda en rotación alrededor de P. Los vectores de velocidad de varios puntos se ilustran en el dibujo 3.

Cuanto más lejos esté un punto de la rueda del centro instantáneo P, proporcionalmente mayor será su velocidad. Por lo tanto, el punto en la parte superior de la rueda se mueve en la misma dirección que el centro M de la rueda, pero dos veces más rápido, ya que está el doble de la distancia de P. Todos los puntos que están a una distancia igual al radio de la rueda. La rueda 'r' del punto P se mueve a la misma velocidad que el punto M pero en diferentes direcciones. Esto se muestra para un punto de la rueda que tiene la misma velocidad que M pero se mueve en la dirección tangente al círculo alrededor de P.

Centro de rotación relativo para dos cuerpos planos en contacto

Croquis 4: Ejemplo de centro de rotación relativo. Dos cuerpos en contacto en C , uno que gira alrededor de A y el otro alrededor de B, deben tener un centro de rotación relativo en algún lugar a lo largo de la línea AB . Puesto que las partes no pueden interpenetran el centro de rotación relativa también debe ser lo largo de la dirección normal a la de contacto y a través de C . La única solución posible es si el centro relativo es en D .

Si dos cuerpos rígidos planos están en contacto, y cada cuerpo tiene su propio centro de rotación distinto, entonces el centro de rotación relativo entre los cuerpos tiene que estar en algún lugar de la línea que conecta los dos centros. Como resultado, dado que el balanceo puro solo puede existir cuando el centro de rotación está en el punto de contacto (como se ve arriba con la rueda en la carretera), es solo cuando el punto de contacto atraviesa la línea que conecta los dos centros de rotación. que se puede lograr rodar puro. Esto se conoce en el diseño de engranajes evolventes como el punto de paso, donde no hay deslizamiento relativo entre los engranajes. De hecho, la relación de transmisión entre las dos partes giratorias se calcula mediante la relación entre las dos distancias y el centro relativo. En el ejemplo del croquis 4, la relación de transmisión es${\displaystyle \gamma ={\frac {AD}{BD}}}$

Mecanismos y centro de rotación instantáneo

El dibujo 1 de arriba muestra un enlace de cuatro barras donde se ilustran varios centros de rotación instantáneos. El cuerpo rígido señalado por las letras BAC está conectado con los enlaces P ₁ -A y P ₂ -B a una base o marco.

Las tres partes móviles de este mecanismo (la base no se mueve) son: enlace P ₁ -A, enlace P ₂ -B y cuerpo BAC. Para cada una de estas tres partes se puede determinar un centro de rotación instantáneo.

Considerando el primer enlace P ₁ -A: todos los puntos de este enlace, incluido el punto A, giran alrededor del punto P ₁ . Dado que P ₁ es el único punto que no se mueve en el plano dado, puede llamarse centro instantáneo de rotación para este enlace. El punto A, en la distancia P ₁ -A de P ₁ , se mueve en un movimiento circular en una dirección perpendicular al enlace P ₁ -a, como se indica por el vector V _A .

Lo mismo se aplica a enlace P ₂ -B: punto P ₂ es el centro instantáneo de rotación para este enlace y el punto B se mueve en la dirección que se indica por el vector V _B .

Para determinar el centro instantáneo de rotación del tercer elemento del enlace, el cuerpo BAC, se utilizan los dos puntos A y B porque se conocen sus características de movimiento, derivadas de la información sobre los enlaces P ₁ -A y P ₂ - B.

La dirección de la velocidad del punto A está indicada por el vector V _A . Su centro de rotación instantáneo debe ser perpendicular a este vector (ya que V _A está ubicado tangencialmente en la circunferencia de un círculo). La única línea que cumple el requisito es una línea colineal con el enlace P ₁ -A. En algún lugar de esta línea hay un punto P, el centro instantáneo de rotación del cuerpo BAC.

Lo que se aplica al punto A también se aplica al punto B, por lo tanto, este centro instantáneo de rotación P está ubicado en una línea perpendicular al vector V _B , una línea colineal con el enlace P ₂ -B. Por lo tanto, el centro instantáneo de rotación P del cuerpo BAC es el punto donde se cruzan las líneas que pasan por P ₁ -A y P ₂ -B.

Dado que este centro de rotación instantáneo P es el centro de todos los puntos en el cuerpo BAC para cualquier punto aleatorio, digamos el punto C, se puede determinar la velocidad y la dirección del movimiento: conecte P con C. La dirección del movimiento del punto C es perpendicular a esta conexión. La velocidad es proporcional a la distancia al punto P.

Continuando con este enfoque con los dos enlaces P ₁ -A y P ₂ -B girando alrededor de sus propios centros instantáneos de rotación, se puede determinar el centrodo para el centro instantáneo P de rotación. A partir de esto, se puede determinar la trayectoria del movimiento para C o cualquier otro punto del cuerpo BAC.

Ejemplos de aplicación

En la investigación biomecánica se observa el centro instantáneo de rotación para el funcionamiento de las articulaciones en las extremidades superiores e inferiores. ^[2] Por ejemplo, al analizar la rodilla , ^{[3] [4] [5] el} tobillo , ^[6] o las articulaciones del hombro . ^{[7] [8]} Este conocimiento ayuda en el desarrollo de prótesis y articulaciones artificiales , como las articulaciones del codo ^[9] o de los dedos. ^[10]

Estudio de las articulaciones de los caballos: "... los vectores de velocidad determinados a partir de los centros de rotación instantáneos indicaron que las superficies de las articulaciones se deslizan entre sí". ^[11]

Estudios sobre el giro de una embarcación en movimiento por el agua. ^[12]

Las características de frenado de un automóvil pueden mejorarse variando el diseño de un mecanismo de pedal de freno. ^[13]

Diseño de la suspensión de una bicicleta, ^[14] o de un automóvil. ^[15]

En el caso del enlace del acoplador en un enlace de cuatro barras , como una suspensión de doble horquilla en la vista frontal, las perpendiculares a la velocidad se encuentran a lo largo de los enlaces que unen el enlace a tierra al enlace del acoplador. Esta construcción se utiliza para establecer el centro de balanceo cinemático de la suspensión.

Ver también

• Centrode
• Centro de rollo
• Eje de tornillo
• Cuerpo rígido
• Rotación alrededor de un eje fijo
• Velocidad angular

Referencias

1. Diccionario ilustrado de ingeniería mecánica: inglés, alemán, francés, holandés, ruso (Springer Science & Business Media, 17 de abril de 2013 - 422 páginas)
2. "Fisiología muscular - brazo de momento articular" .
3. Descripción y medición del movimiento de la articulación de la rodilla ^{[ enlace muerto permanente ]}
4. Moorehead JD, Montgomery SC, Harvey DM (septiembre de 2003). "Estimación instantánea del centro de rotación mediante la técnica de Reuleaux y una técnica de extrapolación lateral". J Biomech . 36 (9): 1301–7. doi : 10.1016 / S0021-9290 (03) 00156-8 . PMID 12893038 . 
5. Hollman JH, Deusinger RH, Van Dillen LR, Matava MJ (agosto de 2003). "Diferencias de género en la cinemática de deslizamiento y rodadura de la superficie de la rodilla". Clin Orthop Relat Res . 413 (413): 208–21. doi : 10.1097 / 01.blo.0000072902.36018.fe . PMID 12897612 . S2CID 45191914 .  
6. Maganaris CN, Baltzopoulos V, Sargeant AJ (agosto de 1998). "Cambios en el brazo de momento del tendón de Aquiles desde el reposo hasta la flexión plantar isométrica máxima: observaciones in vivo en el hombre" . Revista de fisiología . 510 (Pt 3): 977–85. doi : 10.1111 / j.1469-7793.1998.977bj.x . PMC 2231068 . PMID 9660906 . Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2012.  
7. Biomecánica del hombro
8. Poppen NK, Walker PS (marzo de 1976). "Movimiento normal y anormal del hombro". J Bone Joint Surg Am . 58 (2): 195-201. doi : 10.2106 / 00004623-197658020-00006 . PMID 1254624 . 
9. US 5030237  Prótesis de codo
10. "Implante de articulación de dedo de pirocarbono" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 21 de julio de 2011 . Consultado el 22 de agosto de 2008 .
11. Colahan P, Piotrowski G, Poulos P (septiembre de 1988). "Análisis cinemático de los centros instantáneos de rotación de la articulación metacarpofalángica equina". Soy J Vet Res . 49 (9): 1560–5. PMID 3223666 . 
12. "PARTE VI Navegación y maniobras de buques" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 15 de diciembre de 2009 . Consultado el 22 de agosto de 2008 .
13. GB 1443270 Soportes de pedal de freno de relación mecánica variable - General Motors, 1976 
14. US 7100930 Sistema de suspensión trasera de bicicleta 
15. Reza N. Jazar (2008). Dinámica de vehículos: teoría y aplicación . Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-74243-4.