En la teoría de modelos , interpretación de una estructura M en otra estructura N (típicamente de un diferente firma ) es una noción técnica que se aproxima a la idea de representar M dentro N . Por ejemplo cada reduct o expansión de definición de una estructura de N tiene una interpretación en N .
Muchas propiedades de la teoría de modelos se conservan en condiciones de interpretación. Por ejemplo, si la teoría de N es estable y M es interpretable en N , entonces la teoría de M también es estable.
Definición
Una interpretación de M en N con parámetros (o sin parámetros , respectivamente) es un pardonde n es un número natural yes un mapa sobreyectivo de un subconjunto de N n en M tal que el-preimagen (más precisamente la -preimagen) de cada conjunto X ⊆ M k definible en M mediante una fórmula de primer orden sin parámetros es definible (en N ) mediante una fórmula de primer orden con parámetros (o sin parámetros, respectivamente). Dado que el valor de n para una interpretación a menudo es claro por el contexto, el mapa en sí mismo también se llama interpretación.
Para comprobar que la preimagen de cada conjunto definible (sin parámetros) en M es definible en N (con o sin parámetros), es suficiente comprobar las preimágenes de los siguientes conjuntos definibles:
- el dominio de M ;
- la diagonal de M 2 ;
- cada relación en la firma de M ;
- la gráfica de cada función en la firma de M .
En la teoría de modelos, el término definible a menudo se refiere a la definibilidad con parámetros; si se utiliza esta convención, la definibilidad sin parámetros se expresa mediante el término definible por 0 . De manera similar, una interpretación con parámetros puede denominarse simplemente una interpretación y una interpretación sin parámetros como una interpretación 0 .
Bi-interpretabilidad
Si L, M y N son tres estructuras, L se interpreta en M y M se interpreta en N, entonces uno puede naturalmente construir una interpretación compuesta de L en N. Si dos estructuras M y N se interpretan entre sí, entonces por combinando las interpretaciones de dos formas posibles, se obtiene una interpretación de cada una de las dos estructuras en sí misma. Esta observación permite definir una relación de equivalencia entre estructuras, que recuerda la equivalencia de homotopía entre espacios topológicos.
Dos estructuras M y N son bi-interpretables si existe una interpretación de M en N y una interpretación de N en M tal que las interpretaciones compuestas de M en sí mismo y de N en sí mismo sean definibles en M y en N , respectivamente (el interpretaciones compuestas que se consideran operaciones en M y en N ).
Ejemplo
El mapa parcial f de Z × Z sobre Q que mapea ( x , y ) ax / y si y ≠ 0 proporciona una interpretación del campo Q de números racionales en el anillo Z de enteros (para ser precisos, la interpretación es ( 2, f )). De hecho, esta interpretación particular se usa a menudo para definir los números racionales. Para ver que es una interpretación (sin parámetros), es necesario verificar las siguientes imágenes previas de conjuntos definibles en Q :
- la preimagen de Q está definida por la fórmula φ ( x , y ) dada por ¬ ( y = 0);
- la preimagen de la diagonal de Q está definida por la fórmula φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) dada por x 1 × y 2 = x 2 × y 1 ;
- las preimágenes de 0 y 1 están definidas por las fórmulas φ ( x , y ) dadas por x = 0 y x = y ;
- la preimagen de la gráfica de suma está definida por la fórmula φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ) dada por x 1 × y 2 × y 3 + x 2 × y 1 × y 3 = x 3 × y 1 × y 2 ;
- la preimagen de la gráfica de multiplicación está definida por la fórmula φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ) dada por x 1 × x 2 × y 3 = x 3 × y 1 × y 2 .
Referencias
- Ahlbrandt, Gisela; Ziegler, Martin (1986), "Cuasi finitamente axiomatizables totalmente categóricas teorías", Annals of Pure and Applied Logic , 30 : 63–82, doi : 10.1016 / 0168-0072 (86) 90037-0[ enlace muerto ]
- Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6 (Sección 4.3)
- Poizat, Bruno (2000), Un curso de teoría de modelos , Springer , ISBN 978-0-387-98655-5 (Sección 9.4)