En geometría , una curva de intersección es, en el caso más simple, la línea de intersección de dos planos no paralelos en el espacio tridimensional euclidiano. En general, una curva de intersección consta de los puntos comunes de dos superficies que se cruzan transversalmente , lo que significa que en cualquier punto común las normales de la superficie no son paralelas. Esta restricción excluye los casos en los que las superficies se tocan o tienen partes de la superficie en común.
La determinación analítica de la curva de intersección de dos superficies es fácil solo en casos simples; por ejemplo: a) la intersección de dos planos, b) la sección plana de un cuadriculado (esfera, cilindro, cono, etc.), c) la intersección de dos cuadrículas en casos especiales. Para el caso general, la literatura proporciona algoritmos para calcular puntos de la curva de intersección de dos superficies. [1]
Línea de intersección de dos planos
Dado: dos planos linealmente independientes , es decir, los planos no son paralelos.
Se busca: una representación paramétrica de la línea de intersección.
La dirección de la línea que se obtiene del producto cruzado de los vectores normales:.
Un punto de la línea de intersección se puede determinar mediante la intersección de los planos dados con el avion , que es perpendicular a y . Insertar la representación paramétrica de en las ecuaciones de und produce los parámetros y .
Ejemplo:
Los vectores normales son y la dirección de la línea de intersección es . Por el punto, se obtiene de la fórmula anterior Por eso
es una representación paramétrica de la línea de intersección.
Observaciones:
- En casos especiales, la determinación de la línea de intersección por eliminación gaussiana puede ser más rápida.
- Si uno (o ambos) de los planos viene dado paramétricamente por , uno obtiene como vector normal y la ecuación es: .
Curva de intersección de un plano y un cuadrático
En cualquier caso, la curva de intersección de un plano y un cuadrático (esfera, cilindro, cono, ...) es una sección cónica . Para obtener más detalles, consulte. [2] Una aplicación importante de las secciones planas de cuadrículas son las curvas de nivel de cuadrículas. En cualquier caso (proyección paralela o central), las curvas de nivel de los cuadrículas son secciones cónicas. Consulte a continuación y Umrisskonstruktion .
Curva de intersección de un cilindro o cono y un cuadrático
Es una tarea fácil determinar los puntos de intersección de una línea con un cuadrático (es decir, línea-esfera ); uno solo tiene que resolver una ecuación cuadrática. Entonces, cualquier curva de intersección de un cono o un cilindro (se generan por líneas) con un cuadrático consta de puntos de intersección de líneas y el cuadrático (ver imágenes).
Las imágenes muestran las posibilidades que ocurren cuando se cruzan un cilindro y una esfera:
- En el primer caso, existe solo una curva de intersección.
- El segundo caso muestra un ejemplo en el que la curva de intersección consta de dos partes.
- En el tercer caso, la esfera y el cilindro se tocan en un punto singular. La curva de intersección se interseca automáticamente.
- Si el cilindro y la esfera tienen el mismo radio y el punto medio de la esfera está ubicado en el eje del cilindro, entonces la curva de intersección consta de puntos singulares (un círculo) únicamente.
Intersección de una esfera y un cilindro: una parte
Intersección de una esfera y un cilindro: dos partes
Intersección de una esfera y un cilindro: curva con un punto singular
Intersección de una esfera y un cilindro: tocar en una curva singular
Caso general: método de marcha
En general, no hay características especiales para explotar. Una posibilidad para determinar un polígono de puntos de la curva de intersección de dos superficies es el método de marcha (ver sección Referencias ). Consta de dos partes esenciales:
- La primera parte es el algoritmo del punto de la curva , que determina en un punto inicial en las proximidades de las dos superficies un punto en la curva de intersección. El algoritmo depende esencialmente de la representación de las superficies dadas. La situación más simple es donde ambas superficies están implícitamente dadas por ecuaciones, porque las funciones proporcionan información sobre las distancias a las superficies y muestran a través de los degradados el camino a las superficies. Si una o ambas superficies se dan paramétricamente, las ventajas del caso implícito no existen. En este caso, el algoritmo del punto de la curva utiliza procedimientos que requieren mucho tiempo, como la determinación del punto de base de una perpendicular en una superficie.
- La segunda parte del método de marcha comienza con un primer punto en la curva de intersección, determina la dirección de la curva de intersección usando las normales de superficie, luego da un paso con una longitud de paso determinada en la dirección de la línea tangente, para obtener un punto de partida para un segundo punto de curva, ... (ver imagen).
Para obtener detalles sobre el algoritmo de marcha, consulte. [3]
El método de marcha produce para cualquier punto de partida un polígono en la curva de intersección. Si la curva de intersección consta de dos partes, el algoritmo debe realizarse utilizando un segundo punto de partida conveniente. El algoritmo es bastante robusto. Por lo general, los puntos singulares no son un problema, porque la posibilidad de encontrar exactamente un punto singular es muy pequeña (ver imagen: intersección de un cilindro y la superficie).
Intersección de con cilindro: dos partes
Intersección de con cilindro: una pieza
Intersección de con cilindro: un punto singular
Aplicación: línea de contorno
Un punto de la línea de contorno de una superficie implícita con ecuación y proyección paralela con dirección tiene que cumplir la condición , porque tiene que ser un vector tangente, lo que significa que cualquier punto de contorno es un punto de la curva de intersección de las dos superficies implícitas
- .
Para cuadrics, es siempre una función lineal. Por lo tanto, la línea de contorno de una cuadricula es siempre una sección plana (es decir, una sección cónica).
La línea de contorno de la superficie. (ver imagen) fue trazado por el método de marcha.
Observación: la determinación de un polígono de contorno de una superficie paramétricanecesita trazar una curva implícita en el plano de parámetros. [4]
- Condición para puntos de contorno: .
Curva de intersección de dos poliedros
La curva de intersección de dos poliedros es un polígono (ver intersección de tres casas). La visualización de una superficie definida paramétricamente se realiza generalmente mapeando una red rectangular en 3 espacios. Los cuadriláteros espaciales son casi planos. Entonces, para la intersección de dos superficies definidas paramétricamente, se puede usar el algoritmo para la intersección de dos poliedros. [5] Ver imagen de toros que se cruzan.
Ver también
Referencias
- ^ Geometría y algoritmos para DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA , p. 94
- ^ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), p. 87-124
- ^ Geometría y algoritmos para DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA , p. 94
- ^ Geometría y algoritmos para DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA , p. 99
- ^ Geometría y algoritmos para DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA p. 76
Otras lecturas
- C: L: Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch: Trazado de intersecciones de superficies , Comp. Geom ayudado. Diseño 5 (1988), pág. 285-307.
- RE Barnhill, SN Kersey: Método de búsqueda para la intersección paramétrica superficie / superficie , Comp. Geom ayudado. Diseño 7 (1990), pág. 257-280.
- R. Barnhill, G. Farin, M. Jordan, B. Piper: Intersección superficie / superficie , Diseño geométrico asistido por computadora 4 (1987), p 3-16.