En geometría proyectiva , un teorema de intersección o teorema de incidencia es un enunciado relativo a una estructura de incidencia , que consta de puntos, líneas y posiblemente objetos de dimensiones superiores y sus incidencias, junto con un par de objetos A y B (por ejemplo, un punto y una línea). El " teorema " establece que, siempre que un conjunto de objetos satisfaga las incidencias ( es decir, pueda identificarse con los objetos de la estructura de incidencia de tal manera que se conserve la incidencia), entonces los objetos A y Btambién debe ser incidente. Un teorema de intersección no es necesariamente cierto en todas las geometrías proyectivas; es una propiedad que satisfacen algunas geometrías pero otras no.
Por ejemplo, el teorema de Desargues se puede enunciar utilizando la siguiente estructura de incidencia:
- Puntos:
- Líneas:
- Incidencias (además de las obvias como ):
La implicación es entonces - ese punto R es incidente con la línea PQ .
Ejemplos famosos
El teorema de Desargues se cumple en un plano proyectivo P si y solo si P es el plano proyectivo sobre algún anillo de división (skewfield} D -. El plano proyectivo se llama entonces desarguesiano . Un teorema de Amitsur y Bergman establece que, en el contexto de los planos proyectivos desarguesianos, para cada teorema de intersección existe una identidad racional tal que el plano P satisface el teorema de intersección si y solo si el anillo de división D satisface la identidad racional.
- El teorema del hexágono de Pappus se sostiene en un plano proyectivo desarguesianosi y solo si D es un campo ; corresponde a la identidad.
- El axioma de Fano (que establece que una cierta intersección no ocurre) se mantiene ensi y solo si D tiene característica ; corresponde a la identidad a + a = 0 .
Referencias
- Rowen, Louis Halle, ed. (1980). Identidades polinomiales en la teoría de anillos . Matemática pura y aplicada. 84 . Prensa académica. doi : 10.1016 / s0079-8169 (08) x6032-5 . ISBN 9780125998505.
- Amitsur, SA (1966). "Identidades racionales y aplicaciones al álgebra y la geometría" . Revista de álgebra . 3 (3): 304–359. doi : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90004-4 .