En matemáticas, el teorema del hexágono de Pappus (atribuido a Pappus de Alejandría ) establece que
- dado un conjunto de puntos colinealesy otro conjunto de puntos colineales , luego los puntos de intersección de pares de líneas y y y son colineales y se encuentran en la línea de Pappus . Estos tres puntos son los puntos de intersección de los lados "opuestos" del hexágono..
Se mantiene en un plano proyectivo sobre cualquier campo, pero falla en planos proyectivos sobre cualquier anillo de división no conmutativo . [1] Los planos proyectivos en los que el "teorema" es válido se denominan planos papianos .
Si uno restringe el plano proyectivo de modo que la línea de Pappus es la línea en el infinito, se obtiene la versión afín del teorema de Pappus que se muestra en el segundo diagrama.
Si la línea Pappus y las lineas tienen un punto en común, se obtiene la llamada pequeña versión del teorema de Pappus. [2]
El dual de este teorema de incidencia establece que dado un conjunto de líneas concurrentes y otro conjunto de líneas concurrentes , luego las lineas definido por pares de puntos resultantes de pares de intersecciones y y y son concurrentes. ( Simultáneo significa que las líneas pasan por un punto).
El teorema de Pappus es un caso especial del teorema de Pascal para una cónica, el caso límite cuando la cónica degenera en 2 líneas rectas. El teorema de Pascal es a su vez un caso especial del teorema de Cayley-Bacharach .
La configuración de Pappus es la configuración de 9 líneas y 9 puntos que ocurre en el teorema de Pappus, donde cada línea se encuentra con 3 de los puntos y cada punto se encuentra con 3 líneas. En general, la línea de Pappus no pasa por el punto de intersección de y . [3] Esta configuración es auto dual . Dado que, en particular, las líneas tienen las propiedades de las líneas del teorema dual, y la colinealidad de es equivalente a la concurrencia de , el teorema dual es, por tanto, exactamente igual que el teorema mismo. El gráfico de Levi de la configuración de Pappus es el gráfico de Pappus , un gráfico bipartito de distancia regular con 18 vértices y 27 aristas.
Prueba: forma afín
Si se puede probar la forma afín del enunciado, entonces se prueba la forma proyectiva del teorema de Pappus, ya que la extensión de un plano papiano a un plano proyectivo es única.
Debido a la paralelismo en un plano afín, uno tiene que distinguir dos casos: y . La clave para una demostración simple es la posibilidad de introducir un sistema de coordenadas "adecuado":
Caso 1: Las líneas intersecar en el punto .
En este caso se introducen coordenadas, de modo que (ver diagrama). tener las coordenadas .
De la paralelismo de las líneas uno consigue y la paralelismo de las lineas rendimientos . De ahí la línea tiene pendiente y es linea paralela .
Caso 2: (pequeño teorema).
En este caso, las coordenadas se eligen de manera que. De la paralelismo de y uno consigue y , respectivamente, y al menos la paralelismo .
Prueba con coordenadas homogéneas
Elija coordenadas homogéneas con
- .
En las lineas , dada por , toma los puntos ser - estar
para algunos . Las tres lineas están , entonces pasan por el mismo punto si y solo si . La condición de las tres líneas y con ecuaciones pasar por el mismo punto es . Entonces, este último conjunto de tres líneas es concurrente si los otros ocho conjuntos son porque la multiplicación es conmutativa, entonces. Equivalentemente, son colineales.
La demostración anterior también muestra que para que el teorema de Pappus sea válido para un espacio proyectivo sobre un anillo de división, es suficiente y necesario que el anillo de división sea un campo (conmutativo). El matemático alemán Gerhard Hessenberg demostró que el teorema de Pappus implica el teorema de Desargues . [4] [5] En general, el teorema de Pappus es válido para algún plano proyectivo si y solo si es un plano proyectivo sobre un campo conmutativo. Los aviones descriptivos en los que el teorema de Pappus no posee son Desarguesian aviones descriptivos más anillos de división no conmutativos, y planos no Desarguesian .
La prueba no es válida si resultan ser colineales. En ese caso, se puede proporcionar una prueba alternativa, por ejemplo, utilizando una referencia proyectiva diferente.
Teorema dual
Debido al principio de dualidad para planos proyectivos, el teorema dual de Pappus es verdadero:
Si 6 líneas se eligen alternativamente entre dos lápices con centros, las líneas
son concurrentes, eso significa: tienen un punto en común.
El diagrama de la izquierda muestra la versión proyectiva, el de la derecha una versión afín, donde los puntosson puntos en el infinito. Si el punto está en la línea de lo que se obtiene el "pequeño teorema dual" del teorema de Pappus.
teorema dual: forma proyectiva
teorema dual: forma afín
Si en la versión afín del punto dual del "pequeño teorema" también es un punto en el infinito, se obtiene el teorema de Thomsen , un enunciado sobre 6 puntos en los lados de un triángulo (ver diagrama). La figura de Thomsen juega un papel fundamental coordinando un plano proyectivo definido axiomático. [6] La prueba del cierre de la figura de Thomsen está cubierta por la prueba del "pequeño teorema", dada anteriormente. Pero también existe una prueba directa simple:
Debido a que el enunciado del teorema de Thomsen (el cierre de la figura) usa solo los términos conectar, intersecar y paralelo , el enunciado es afinamente invariante y se pueden introducir coordenadas tales que(ver diagrama de la derecha). El punto de partida de la secuencia de acordes es Se verifican fácilmente las coordenadas de los puntos dados en el diagrama, que muestra: el último punto coincide con el primer punto.
Figura de Thomsen (puntos del triangulo ) como teorema dual del pequeño teorema de Pappus ( ¡También está en el infinito!).
Figura de Thomsen: prueba
Otras declaraciones del teorema
Además de las caracterizaciones anteriores del teorema de Pappus y su dual, las siguientes son declaraciones equivalentes:
- Si los seis vértices de un hexágono se encuentran alternativamente en dos líneas, entonces los tres puntos de intersección de pares de lados opuestos son colineales. [7]
- Organizados en una matriz de nueve puntos (como en la figura y descripción de arriba) y pensados como la evaluación de un permanente , si las dos primeras filas y las seis tríadas "diagonales" son colineales, entonces la tercera fila es colineal.
- Es decir, si son rectas, entonces el teorema de Pappus establece que debe ser una línea. Además, tenga en cuenta que la misma formulación matricial se aplica a la forma dual del teorema cuando etc. son triples de líneas concurrentes. [8]
- Dados tres puntos distintos en cada una de dos líneas distintas, empareje cada punto en una de las líneas con uno de la otra línea, luego las uniones de puntos no emparejados se encontrarán en pares (opuestos) en puntos a lo largo de una línea. [9]
- Si dos triángulos tienen perspectiva de al menos dos formas diferentes, entonces son perspectiva de tres formas. [4]
- Si y son concurrentes y y son concurrentes, entonces y son concurrentes. [8]
Orígenes
En su forma más antigua conocida, el Teorema de Pappus son las Proposiciones 138, 139, 141 y 143 del Libro VII de la Colección de Pappus . [10] Estos son Lemmas XII, XIII, XV, XVII y en la parte del libro VII consiste en lemas para el primero de los tres libros de Euclides 's Porismas.
Los lemas se prueban en términos de lo que hoy se conoce como la relación cruzada de cuatro puntos colineales. Se utilizan tres lemas anteriores. El primero de ellos, Lema III, tiene el siguiente diagrama (que usa las letras de Pappus, con G para Γ, D para Δ, J para Θ y L para Λ).
Aquí tres líneas rectas concurrentes, AB, AG y AD, están cruzadas por dos líneas, JB y JE, que concurren en J. También KL se dibuja paralela a AZ. Luego
- KJ: JL :: (KJ: AG y AG: JL) :: (JD: GD y BG: JB).
Estas proporciones podrían escribirse hoy como ecuaciones: [11]
- KJ / JL = (KJ / AG) (AG / JL) = (JD / GD) (BG / JB).
La última relación compuesta (a saber, JD: GD y BG: JB) es lo que se conoce hoy como la relación cruzada de los puntos colineales J, G, D y B en ese orden; hoy se denota por (J, G; D, B). Así que hemos demostrado que esto es independiente de la elección de la línea recta particular JD que cruza las tres líneas rectas que concurren en A. En particular
- (J, G; D, B) = (J, Z; H, E).
No importa de qué lado de A caiga la línea recta JE. En particular, la situación puede ser como en el siguiente diagrama, que es el diagrama del Lema X.
Al igual que antes, tenemos (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Pappus no prueba esto explícitamente; pero el Lema X es inverso, es decir, que si estas dos relaciones cruzadas son iguales y las líneas rectas BE y DH se cruzan en A, entonces los puntos G, A y Z deben ser colineales.
Lo que mostramos originalmente se puede escribir como (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), donde ∞ toma el lugar de la intersección (inexistente) de JK y AG. Pappus muestra esto, en efecto, en el Lema XI, cuyo diagrama, sin embargo, tiene letras diferentes:
Lo que muestra Pappus es DE.ZH: EZ.HD :: GB: BE, que podemos escribir como
- (D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).
El diagrama del Lema XII es:
El diagrama para el Lema XIII es el mismo, pero BA y DG, extendidos, se encuentran en N. En cualquier caso, considerando las líneas rectas que atraviesan G como cortadas por las tres líneas rectas que atraviesan A, (y aceptando que las ecuaciones de relaciones cruzadas siguen siendo válidas después de permutación de las entradas,) tenemos por Lema III o XI
- (G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).
Considerando las líneas rectas que pasan por D como cortadas por las tres líneas rectas que pasan por B, tenemos
- (L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).
Por lo tanto (E, H; J, G) = (E, K; D, L), por lo que según el Lema X, los puntos H, M y K son colineales. Es decir, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos del hexágono ADEGBZ son colineales.
Los lemas XV y XVII son que, si el punto M se determina como la intersección de HK y BG, entonces los puntos A, M y D son colineales. Es decir, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos del hexágono BEKHZG son colineales.
Notas
- ^ Coxeter, págs. 236–7.
- ^ Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie , BI-Taschenbuch, 1969, p. 93
- ^ Sin embargo, esto ocurre cuando y están en perspectiva , es decir, y son concurrentes.
- ↑ a b Coxeter , 1969 , p. 238
- ↑ Según ( Dembowski 1968 , pág. 159, nota al pie 1), la prueba original de Hessenberg Hessenberg (1905) no está completa; descartó la posibilidad de que pudieran ocurrir algunas incidencias adicionales en la configuración de Desargues. Cronheim 1953 proporciona una prueba completa.
- ^ W. Blaschke: Projektive Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869320 , S. 190
- ^ Coxeter, pág. 231
- ↑ a b Coxeter, pág. 233
- ^ Whicher, capítulo 14
- ↑ Heath (Vol. II, p. 421) cita estas proposiciones. Los dos últimos pueden entenderse como inversos de los dos primeros. Kline (p. 128) cita sólo la Proposición 139. La numeración de las proposiciones es la asignada por Hultsch.
- ↑ Una razón para usar la notación anterior es que, para los antiguos griegos, una razón no es un número ni un objeto geométrico. Hoy podemos pensar en la razón como una clase de equivalencia de pares de objetos geométricos. Además, la igualdad para los griegos es lo que hoy podríamos llamar congruencia. En particular, los distintos segmentos de línea pueden ser iguales. Las proporciones no son iguales en este sentido; pero pueden ser iguales.
Referencias
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2a ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
- Cronheim, A. (1953), "Una prueba del teorema de Hessenberg", Proceedings of the American Mathematical Society , 4 (2): 219-221, doi : 10.2307 / 2031794 , JSTOR 2031794
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer Verlag
- Heath, Thomas (1981) [1921], A History of Greek Mathematics , Nueva York: Dover
- Hessenberg, Gerhard (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen , Berlín / Heidelberg: Springer, 61 (2): 161-172, doi : 10.1007 / BF01457558 , ISSN 1432-1807
- Hultsch, Fridericus (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt , Berlín
- Kline, Morris (1972), Pensamiento matemático desde tiempos antiguos a tiempos modernos , Nueva York: Oxford University Press
- Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), "El destino axiomático de los teoremas de Pappus y Desargues", en Dani, SG; Papadopoulos, A. (eds.), Geometry in history , Springer, págs. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
- Whicher, Olive (1971), Geometría proyectiva , Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4
enlaces externos
- Teorema del hexágono de Pappus en cortar el nudo
- Dual al teorema del hexágono de Pappus en cortar el nudo
- Teorema de Pappus: nueve demostraciones y tres variaciones