En matemáticas , la distancia plana intrínseca es una noción de distancia entre dos variedades de Riemann , que es una generalización de la distancia plana de Federer y Fleming entre las subvariedades y las corrientes integrales que se encuentran en el espacio euclidiano.
La distancia plana intrínseca de Sormani -Wenger (SWIF) es una distancia entre variedades de Riemann de orientación compacta de la misma dimensión. De manera más general, define la distancia entre dos espacios de corriente integrales, ( X , d , T ), de la misma dimensión (ver más abajo). Esta clase de espacios y esta distancia fueron anunciadas por primera vez por los matemáticos Sormani y Wenger en el Festival de Geometría en 2009 y el desarrollo detallado de estas nociones apareció en el Journal of Differential Geometry en 2011. [1]
La distancia SWIF es una noción intrínseca basada en la distancia plana (extrínseca) entre las subvariedades y las corrientes integrales en el espacio euclidiano desarrollado por Federer y Fleming. La definición imita la definición de Gromov de la distancia de Gromov-Hausdorff en el sentido de que implica tomar un mínimo sobre todos los mapas que preservan la distancia de los espacios dados en todos los posibles espacios ambientales Z. Una vez en un espacio común Z , la distancia plana entre las imágenes se toma viendo las imágenes de los espacios como corrientes integrales en el sentido de Ambrosio -Kirchheim. [1]
La idea aproximada tanto en entornos intrínsecos como extrínsecos es ver los espacios como el límite de un tercer espacio o región y encontrar el volumen ponderado más pequeño de este tercer espacio. De esta manera, las esferas con muchas splines que contienen cantidades cada vez más pequeñas de volumen convergen "SWIF-ly" en esferas. [1]
si hay una isometría que conserva la orientación de M 1 a M 2 . Si M i converge en el sentido de Gromov-Hausdorff a un espacio métrico Y , entonces una subsecuencia de M i converge SWIF -ly a un espacio actual integral contenido en Y pero no necesariamente igual a Y. Por ejemplo, el límite de GH de una secuencia de esferas con un pellizco largo y delgado en el cuello es un par de esferas con un segmento de línea que corre entre ellas, mientras que el límite de SWIF es solo el par de esferas. El límite de GH de una secuencia de toros cada vez más delgados es un círculo, pero el límite plano es el espacio 0. En el entorno con curvatura de Ricci no negativay un límite inferior uniforme en el volumen, los límites de GH y SWIF coinciden. Si una secuencia de variedades converge en el sentido de Lipschitz a una variedad límite de Lipschitz, entonces el límite SWIF existe y tiene el mismo límite. [1]
El teorema de la compacidad de Wenger establece que si una secuencia de variedades compactas de Riemann, M j , tiene un límite superior uniforme en diámetro, volumen y volumen límite, entonces una subsecuencia converge SWIF-ly a un espacio de corriente integral. [1]