Introducción a la geometría tropical es un libro sobre geometría tropical , de Diane Maclagan y Bernd Sturmfels . Fue publicado por la American Mathematical Society en 2015 como el volumen 161 de Estudios de posgrado en matemáticas .
Temas
El semirrígido tropical es una estructura algebraica de los números reales en la que la suma ocupa el lugar habitual de la multiplicación y la minimización ocupa el lugar habitual de la suma. [1] Esta combinación de las dos operaciones de suma y minimización surge naturalmente, por ejemplo, en el problema de la ruta más corta , donde la concatenación de rutas hace que se agreguen sus distancias y donde la más corta de las dos rutas paralelas es la que tiene la longitud mínima, y donde algunos algoritmos de ruta más corta pueden interpretarse como multiplicación de matrices tropicales . [2] La geometría tropical aplica la maquinaria de la geometría algebraica a este sistema definiendo polinomios usando la suma y minimización en lugar de la multiplicación y la suma (produciendo funciones lineales por partes ), y estudiando las "raíces" de estos polinomios, los puntos de corte donde fallan. ser lineal. [1] El campo lleva el nombre de la casa adoptiva brasileña de uno de sus investigadores pioneros, Imre Simon . [2] [3] Aunque el trabajo anterior en el área lo ha estudiado a través de métodos de combinatoria enumerativa , este libro, en cambio, se centra en cálculos explícitos relacionados con la tropicalización de variedades clásicas. [2] [4] Aunque es mucho más completo que los dos libros introductorios anteriores en esta área de Itenberg et al., [3] algunos temas de geometría tropical se omiten (deliberadamente), incluida la geometría enumerativa y la simetría especular . [4]
El libro tiene seis capítulos. El primero presenta el tema y ofrece una descripción general de algunos resultados importantes, después de lo cual el segundo capítulo proporciona material de antecedentes sobre el campo ordenado no arquimediano , las variedades algebraicas , los politopos convexos y las bases de Gröbner . El capítulo tres se ocupa de las variedades tropicales, definidas de varias formas diferentes, las correspondencias entre las variedades clásicas y sus tropicalizaciones, el "Teorema fundamental de la geometría tropical" que demuestra que estas definiciones son equivalentes y la teoría de la intersección tropical . El capítulo cuatro estudia las conexiones tropicales con Grassmannian , vecino que se une en el espacio de árboles métricos y matroides . el capítulo cinco considera análogos tropicales de algunos de los conceptos importantes del álgebra lineal , y el capítulo seis conecta las variedades tropicales con las variedades tóricas y la geometría poliédrica. [1] [2] [3]
Audiencia y recepción
Este libro está escrito como un libro de texto, con problemas para evaluar la comprensión del material por parte de los lectores. [1] [3] Aunque se publicó en una serie de libros para graduados, el revisor Patrick Popescu-Pampu escribe que debería ser accesible para estudiantes universitarios con una formación adecuada en geometría algebraica. [3] El crítico Felipe Zaldivar escribe que "hace que el tema sea accesible y agradable", y hace "una hermosa adición" a su serie de libros. [1] El revisor Michael Joswig concluye que Introducción a la geometría tropical "se convertirá en una referencia estándar en el campo durante los próximos años". [4]
Referencias
- ↑ a b c d e Zaldivar, Felipe (agosto de 2015). "Revisión de Introducción a la Geometría Tropical " . Reseñas de MAA .
- ^ a b c d Draisma, enero (2017). "Revisión de Introducción a la geometría tropical " (PDF) . Nieuw Archief voor Wiskunde . 5º ser. (en holandés). 18 (2): 145-146.
- ^ a b c d e Popescu-Pampu, Patrick. "Revisión de Introducción a la Geometría Tropical ". Revisiones matemáticas . Señor 3287221 .
- ^ a b c Joswig, Michael (febrero de 2016). "Revisión de Introducción a la geometría tropical " (PDF) . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 118 (3): 233–237. doi : 10.1365 / s13291-016-0133-6 .