Simetría de espejo (teoría de cuerdas)

En física y geometría: relación conjeturada entre pares de variedades Calabi-Yau

Teoria de las cuerdas
Objetos fundamentales
Cuerda Cuerda cósmica Brane D-brana
Teoría perturbativa
Bosónico Supercuerda ( Tipo I , Tipo II , Heterótico )
Resultados no perturbadores
S-dualidad T-dualidad U-dualidad Teoría M Teoría F Correspondencia AdS / CFT
Fenomenología
Fenomenología Cosmología Paisaje
Matemáticas
Simetría de espejo Luz de luna monstruosa
Conceptos relacionados Teoria de todo Teoría de campos conformales Gravedad cuántica Supersimetría Supergravedad Teoría de cuerdas de twistor N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills Teoría de Kaluza-Klein Multiverso Principio holográfico
Teóricos Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Bancos Berenstein Bousso Cuchilla de carnicero Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Sin valor Ferrara Fischler Friedan Puertas Gliozzi Gopakumar Verde Greene Bruto Gubser Gukov Guth Hanson Harvey Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Aceituna Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Hijo Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind 't Hooft Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach
Historia Glosario
v t mi

Para otros usos, consulte Simetría de espejo .

En geometría algebraica y física teórica , la simetría especular es una relación entre objetos geométricos llamados variedades Calabi-Yau . El término se refiere a una situación en la que dos variedades de Calabi-Yau se ven muy diferentes geométricamente pero, sin embargo, son equivalentes cuando se emplean como dimensiones adicionales de la teoría de cuerdas .

Los primeros casos de simetría especular fueron descubiertos por físicos. Los matemáticos se interesaron por esta relación alrededor de 1990 cuando Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green y Linda Parkes demostraron que podía usarse como una herramienta en geometría enumerativa , una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a cuestiones geométricas. . Candelas y sus colaboradores demostraron que la simetría especular podría usarse para contar curvas racionales en una variedad Calabi-Yau, resolviendo así un problema de larga data. Aunque el enfoque original de la simetría especular se basaba en ideas físicas que no se entendían de una manera matemáticamente precisa, algunas de sus predicciones matemáticas se han probado rigurosamente desde entonces..

Hoy en día, la simetría especular es un tema de investigación importante en matemáticas puras , y los matemáticos están trabajando para desarrollar una comprensión matemática de la relación basada en la intuición de los físicos. La simetría de espejo también es una herramienta fundamental para hacer cálculos en la teoría de cuerdas, y se ha utilizado para comprender aspectos de la teoría cuántica de campos , el formalismo que usan los físicos para describir partículas elementales . Los principales enfoques de la simetría especular incluyen el programa de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich y la conjetura SYZ de Andrew Strominger , Shing-Tung Yau y Eric Zaslow .

Resumen

Cadenas y compactación

Artículos principales: Teoría de cuerdas y Compactificación (física)

Los objetos fundamentales de la teoría de cuerdas son abiertos y cerrados cuerdas .

En física, la teoría de cuerdas es un marco teórico en el que las partículas puntuales de la física de partículas son reemplazadas por objetos unidimensionales llamados cuerdas . Estas cuerdas parecen pequeños segmentos o bucles de cuerda ordinaria. La teoría de cuerdas describe cómo las cuerdas se propagan a través del espacio e interactúan entre sí. En escalas de distancia más grandes que la escala de la cuerda, una cuerda se verá como una partícula ordinaria, con su masa , carga y otras propiedades determinadas por el estado vibratorio de la cuerda. La división y recombinación de cadenas corresponden a la emisión y absorción de partículas, dando lugar a las interacciones entre partículas.^[1]

Existen diferencias notables entre el mundo descrito por la teoría de cuerdas y el mundo cotidiano. En la vida cotidiana, hay tres dimensiones familiares del espacio (arriba / abajo, izquierda / derecha y adelante / atrás), y hay una dimensión del tiempo (más tarde / antes). Así, en el lenguaje de la física moderna, se dice que el espacio - tiempo es tetradimensional. ^[2] Una de las características peculiares de la teoría de cuerdas es que requiere dimensiones adicionales de espacio-tiempo para su consistencia matemática. En la teoría de supercuerdas , la versión de la teoría que incorpora una idea teórica llamada supersimetría , hay seis dimensiones adicionales del espacio-tiempo además de las cuatro que son familiares de la experiencia cotidiana. ^[3]

Uno de los objetivos de la investigación actual en teoría de cuerdas es desarrollar modelos en los que las cuerdas representen partículas observadas en experimentos de física de alta energía. Para que un modelo de este tipo sea coherente con las observaciones, su espacio-tiempo debe ser de cuatro dimensiones en las escalas de distancia relevantes, por lo que se deben buscar formas de restringir las dimensiones adicionales a escalas más pequeñas. En la mayoría de los modelos físicos realistas basados ​​en la teoría de cuerdas, esto se logra mediante un proceso llamado compactificación , en el que se supone que las dimensiones adicionales se "cierran" sobre sí mismas para formar círculos. ^[4]En el límite donde estas dimensiones enrolladas se vuelven muy pequeñas, se obtiene una teoría en la que el espacio-tiempo tiene efectivamente un número menor de dimensiones. Una analogía estándar para esto es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. Si la manguera se ve desde una distancia suficiente, parece tener una sola dimensión, su longitud. Sin embargo, cuando uno se acerca a la manguera, descubre que contiene una segunda dimensión, su circunferencia. Así, una hormiga arrastrándose por la superficie de la manguera se movería en dos dimensiones. ^[5]

Variedades Calabi-Yau

Artículo principal: colector Calabi – Yau

Una sección transversal de una variedad quíntica de Calabi-Yau

La compactación se puede utilizar para construir modelos en los que el espacio-tiempo es efectivamente tetradimensional. Sin embargo, no todas las formas de compactar las dimensiones adicionales producen un modelo con las propiedades adecuadas para describir la naturaleza. En un modelo viable de física de partículas, las dimensiones extra compactas deben tener la forma de una variedad Calabi-Yau . ^[4] Una variedad Calabi-Yau es un espacio especial que normalmente se considera de seis dimensiones en aplicaciones a la teoría de cuerdas. Lleva el nombre de los matemáticos Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau . ^[6]

Después de que las variedades Calabi-Yau ingresaron a la física como una forma de compactar dimensiones adicionales, muchos físicos comenzaron a estudiar estas variedades. A finales de la década de 1980, Lance Dixon , Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa y Nick Warner notaron que dada tal compactación de la teoría de cuerdas, no es posible reconstruir de manera única una variedad Calabi-Yau correspondiente. ^[7] En cambio, dos versiones diferentes de la teoría de cuerdas llamadas teoría de cuerdas tipo IIA y tipo IIB pueden compactarse en variedades Calabi-Yau completamente diferentes dando lugar a la misma física. ^[8]En esta situación, las variedades se denominan variedades espejo y la relación entre las dos teorías físicas se llama simetría especular. ^[9]

La relación de simetría especular es un ejemplo particular de lo que los físicos llaman dualidad física . En general, el término dualidad física se refiere a una situación en la que dos teorías físicas aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si una teoría puede transformarse para que se parezca a otra teoría, se dice que las dos son duales bajo esa transformación. Dicho de otra manera, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes de los mismos fenómenos. ^[10] Tales dualidades juegan un papel importante en la física moderna, especialmente en la teoría de cuerdas. ^[11]

Independientemente de si las compactaciones de Calabi-Yau de la teoría de cuerdas proporcionan una descripción correcta de la naturaleza, la existencia de la dualidad espejo entre diferentes teorías de cuerdas tiene importantes consecuencias matemáticas. ^[12] Las variedades Calabi-Yau utilizadas en la teoría de cuerdas son de interés en matemáticas puras , y la simetría especular permite a los matemáticos resolver problemas en geometría algebraica enumerativa , una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a cuestiones geométricas. Un problema clásico de la geometría enumerativa es enumerar las curvas racionalesen un colector Calabi-Yau como el que se ilustra arriba. Al aplicar la simetría especular, los matemáticos han traducido este problema en un problema equivalente para el espejo Calabi-Yau, que resulta ser más fácil de resolver. ^[13]

En física, la simetría especular se justifica por motivos físicos. ^[14] Sin embargo, los matemáticos generalmente requieren pruebas rigurosas que no requieren apelar a la intuición física. Desde un punto de vista matemático, la versión de la simetría especular descrita anteriormente sigue siendo solo una conjetura, pero hay otra versión de la simetría especular en el contexto de la teoría de cuerdas topológica , una versión simplificada de la teoría de cuerdas introducida por Edward Witten , ^[15] que ha sido rigurosamente probado por matemáticos. ^[16] En el contexto de la teoría de cuerdas topológico, estados espejo de simetría que dos teorías llamado el A-modelo y B-modeloson equivalentes en el sentido de que existe una dualidad que los relaciona. ^[17] Hoy en día, la simetría especular es un área activa de investigación en matemáticas, y los matemáticos están trabajando para desarrollar una comprensión matemática más completa de la simetría especular basada en la intuición de los físicos. ^[18]

Historia

La idea de la simetría especular se remonta a mediados de la década de 1980 cuando se notó que una cuerda que se propaga en un círculo de radio es físicamente equivalente a una cuerda que se propaga en un círculo de radio en unidades apropiadas . ^[19] Este fenómeno ahora se conoce como T-dualidad y se entiende que está estrechamente relacionado con la simetría especular. ^[20] En un artículo de 1985, Philip Candelas , Gary Horowitz , Andrew Strominger y Edward Witten demostraron que compactando la teoría de cuerdas en una variedad Calabi-Yau, se obtiene una teoría más o menos similar al modelo estándar de física de partículas.${\displaystyle R}$${\displaystyle 1/R}$que también incorpora consistentemente una idea llamada supersimetría. ^[21] Después de este desarrollo, muchos físicos comenzaron a estudiar las compactaciones de Calabi-Yau, con la esperanza de construir modelos realistas de física de partículas basados ​​en la teoría de cuerdas. Cumrun Vafa y otros notaron que dado tal modelo físico, no es posible reconstruir de manera única una variedad Calabi-Yau correspondiente. En cambio, hay dos variedades Calabi-Yau que dan lugar a la misma física. ^[22]

Al estudiar la relación entre las variedades Calabi-Yau y ciertas teorías de campos conformes llamadas modelos de Gepner, Brian Greene y Ronen Plesser encontraron ejemplos no triviales de la relación espejo. ^[23] Más evidencia de esta relación provino del trabajo de Philip Candelas, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, quienes examinaron un gran número de variedades Calabi-Yau por computadora y encontraron que venían en pares de espejos. ^[24]

Los matemáticos se interesaron por la simetría especular alrededor de 1990 cuando los físicos Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes demostraron que la simetría especular podía usarse para resolver problemas en geometría enumerativa ^[25] que se habían resistido a la solución durante décadas o más. ^[26] Estos resultados se presentaron a los matemáticos en una conferencia en el Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas (MSRI) en Berkeley, California en mayo de 1991. Durante esta conferencia, se notó que uno de los números que Candelas había calculado para el conteo de curvas racionales en desacuerdo con el número obtenido por los matemáticos noruegos Geir Ellingsrudy Stein Arild Strømme utilizando técnicas aparentemente más rigurosas. ^[27] Muchos matemáticos en la conferencia asumieron que el trabajo de Candelas contenía un error ya que no se basaba en argumentos matemáticos rigurosos. Sin embargo, tras examinar su solución, Ellingsrud y Strømme descubrieron un error en su código informático y, al arreglar el código, obtuvieron una respuesta que coincidía con la obtenida por Candelas y sus colaboradores. ^[28]

En 1990, Edward Witten introdujo la teoría de cuerdas topológica, ^[15] una versión simplificada de la teoría de cuerdas, y los físicos demostraron que existe una versión de la simetría especular para la teoría de cuerdas topológica. ^[29] Esta afirmación sobre la teoría de cuerdas topológica se suele tomar como la definición de simetría especular en la literatura matemática. ^[30] En un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1994, el matemático Maxim Kontsevich presentó una nueva conjetura matemática basada en la idea física de la simetría especular en la teoría de cuerdas topológica. Conocido como simetría de espejo homológica, esta conjetura formaliza la simetría especular como una equivalencia de dos estructuras matemáticas: la categoría derivada de haces coherentes en una variedad Calabi-Yau y la categoría Fukaya de su espejo. ^[31]

También alrededor de 1995, Kontsevich analizó los resultados de Candelas, que dio una fórmula general para el problema de contar curvas racionales en una quintica triple , y reformuló estos resultados como una conjetura matemática precisa. ^[32] En 1996, Alexander Givental publicó un artículo que afirmaba probar esta conjetura de Kontsevich. ^[33] Inicialmente, muchos matemáticos encontraron este artículo difícil de entender, por lo que había dudas sobre su exactitud. Posteriormente, Bong Lian, Kefeng Liu y Shing-Tung Yau publicaron una prueba independiente en una serie de artículos. ^[34]A pesar de la controversia sobre quién había publicado la primera prueba, estos artículos ahora se consideran colectivamente como una prueba matemática de los resultados obtenidos originalmente por los físicos usando simetría especular. ^[35] En 2000, Kentaro Hori y Cumrun Vafa dieron otra prueba física de simetría especular basada en la dualidad T. ^[14]

El trabajo sobre la simetría de espejo continúa hoy con importantes desarrollos en el contexto de cuerdas en superficies con límites. ^[18] Además, la simetría especular se ha relacionado con muchas áreas activas de la investigación matemática, como la correspondencia de McKay , la teoría de campos cuánticos topológicos y la teoría de las condiciones de estabilidad . ^[36] Al mismo tiempo, las preguntas básicas siguen siendo molestas. Por ejemplo, los matemáticos aún no comprenden cómo construir ejemplos de pares espejo Calabi-Yau, aunque ha habido avances en la comprensión de este tema. ^[37]

Aplicaciones

Geometría enumerativa

Artículo principal: geometría enumerativa

Círculos de Apolonio : Ocho círculos de colores son tangentes a los tres círculos negros.

Muchas de las aplicaciones matemáticas importantes de la simetría especular pertenecen a la rama de las matemáticas llamada geometría enumerativa. En geometría enumerativa, uno está interesado en contar el número de soluciones a preguntas geométricas, por lo general utilizando las técnicas de geometría algebraica . Uno de los primeros problemas de la geometría enumerativa fue planteado alrededor del año 200 a. C. por el antiguo matemático griego Apolonio , quien preguntó cuántos círculos en el plano son tangentes a tres círculos dados. En general, la solución al problema de Apolonio es que hay ocho círculos de este tipo. ^[38]

El Clebsch cúbico

Los problemas enumerativos en matemáticas a menudo se refieren a una clase de objetos geométricos llamados variedades algebraicas que se definen por la desaparición de polinomios . Por ejemplo, el cúbico de Clebsch (ver la ilustración) se define usando un cierto polinomio de grado tres en cuatro variables. Un célebre resultado de los matemáticos del siglo XIX Arthur Cayley y George Salmon afirma que hay exactamente 27 líneas rectas que se encuentran enteramente en esa superficie. ^[39]

Generalizando este problema, uno puede preguntarse cuántas líneas se pueden dibujar en una variedad quíntica de Calabi-Yau, como la que se ilustra arriba, que está definida por un polinomio de grado cinco. Este problema fue resuelto por el matemático alemán del siglo XIX Hermann Schubert , quien descubrió que hay exactamente 2.875 de tales líneas. En 1986, el geómetra Sheldon Katz demostró que el número de curvas, como círculos, que están definidas por polinomios de grado dos y se encuentran completamente en la quintica es 609,250. ^[38]

Para el año 1991, la mayoría de los problemas clásicos de geometría enumerativa se habían resuelto y el interés por la geometría enumerativa había comenzado a disminuir. Según el matemático Mark Gross, "a medida que se resolvieron los viejos problemas, la gente volvió a comprobar los números de Schubert con técnicas modernas, pero eso se estaba volviendo bastante obsoleto". ^[40] El campo se revitalizó en mayo de 1991 cuando los físicos Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes demostraron que la simetría especular se podía usar para contar el número de curvas de grado tres en un Calabi-Yau quíntico. Candelas y sus colaboradores encontraron que estas variedades de Calabi-Yau de seis dimensiones pueden contener exactamente 317,206,375 curvas de grado tres. ^[40]

Además de contar las curvas de grado tres en una quíntica triple, Candelas y sus colaboradores obtuvieron una serie de resultados más generales para contar curvas racionales que iban mucho más allá de los resultados obtenidos por los matemáticos. ^[41] Aunque los métodos utilizados en este trabajo se basaron en la intuición física, los matemáticos han llegado a probar rigurosamente algunas de las predicciones de la simetría especular. En particular, las predicciones enumerativas de la simetría especular ahora se han probado rigurosamente. ^[35]

Física teórica

Además de sus aplicaciones en geometría enumerativa, la simetría especular es una herramienta fundamental para realizar cálculos en la teoría de cuerdas. En el modelo A de la teoría de cuerdas topológica, las cantidades físicamente interesantes se expresan en términos de un número infinito de números llamados invariantes de Gromov-Witten , que son extremadamente difíciles de calcular. En el modelo B, los cálculos se pueden reducir a integrales clásicas y son mucho más fáciles. ^[42]Al aplicar la simetría especular, los teóricos pueden traducir cálculos difíciles en el modelo A en cálculos equivalentes pero técnicamente más fáciles en el modelo B. Estos cálculos se utilizan luego para determinar las probabilidades de varios procesos físicos en la teoría de cuerdas. La simetría especular se puede combinar con otras dualidades para traducir los cálculos de una teoría en cálculos equivalentes en una teoría diferente. Al subcontratar los cálculos a diferentes teorías de esta manera, los teóricos pueden calcular cantidades que son imposibles de calcular sin el uso de dualidades. ^[43]

Fuera de la teoría de cuerdas, la simetría especular se usa para comprender aspectos de la teoría cuántica de campos , el formalismo que usan los físicos para describir partículas elementales . Por ejemplo, las teorías de gauge son una clase de teorías físicas altamente simétricas que aparecen en el modelo estándar de física de partículas y otras partes de la física teórica. Algunas teorías de gauge que no forman parte del modelo estándar, pero que sin embargo son importantes por razones teóricas, surgen de cadenas que se propagan sobre un fondo casi singular. Para tales teorías, la simetría especular es una herramienta computacional útil. ^[44] De hecho, la simetría especular se puede utilizar para realizar cálculos en una importante teoría de gauge en cuatro dimensiones del espacio-tiempo que fue estudiada porNathan Seiberg y Edward Witten y también está familiarizado con las matemáticas en el contexto de las invariantes de Donaldson . ^[45] También hay una generalización de la simetría especular llamada simetría especular 3D que relaciona pares de teorías cuánticas de campos en tres dimensiones del espacio-tiempo. ^[46]

Enfoques

Simetría de espejo homológica

Artículo principal: simetría de espejo homológica

Cuerdas abiertas unidas a un par de D-branas

En la teoría de cuerdas y las teorías físicas relacionadas, una brana es un objeto físico que generaliza la noción de una partícula puntual a dimensiones superiores. Por ejemplo, una partícula puntual puede verse como una brana de dimensión cero, mientras que una cuerda puede verse como una brana de dimensión uno. También es posible considerar branas de dimensiones superiores. La palabra brana proviene de la palabra "membrana" que se refiere a una brana bidimensional. ^[47]

En la teoría de cuerdas, una cuerda puede estar abierta (formando un segmento con dos extremos) o cerrada (formando un bucle cerrado). Las D-branas son una clase importante de branas que surgen cuando se consideran las cadenas abiertas. A medida que una cuerda abierta se propaga a través del espacio-tiempo, se requiere que sus puntos finales se encuentren en una D-brana. La letra "D" en D-brane se refiere a una condición que satisface, la condición de frontera de Dirichlet . ^[48]

Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de categoría . ^[49] Se trata de una estructura matemática que consta de objetos y, para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ) y los morfismos son funciones entre estas estructuras. ^[50] También se pueden considerar categorías donde los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas y son estados de cadenas abiertas estiradas entre y .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$^[51]

En el modelo B de la teoría de cuerdas topológica, las D-branas son subvariedades complejas de Calabi-Yau junto con datos adicionales que surgen físicamente de tener cargas en los extremos de las cuerdas. ^[51] Intuitivamente, uno puede pensar en una subvariedad como una superficie incrustada dentro del Calabi-Yau, aunque las subvariedades también pueden existir en dimensiones diferentes de dos. ^[26] En lenguaje matemático, la categoría que tiene estas branas como sus objetos se conoce como la categoría derivada de gavillas coherentes en el Calabi-Yau. ^[52] En el modelo A, las D-branas pueden verse nuevamente como subvariedades de una variedad Calabi-Yau. En términos generales, son lo que los matemáticos llaman subvariedades lagrangianas especiales . ^[52]Esto significa, entre otras cosas, que tienen la mitad de la dimensión del espacio en el que se sientan y minimizan la longitud, el área o el volumen. ^[53] La categoría que tiene estas branas como objeto se llama categoría Fukaya. ^[52]

La categoría derivada de haces coherentes se construye utilizando herramientas de geometría compleja , una rama de las matemáticas que describe curvas geométricas en términos algebraicos y resuelve problemas geométricos utilizando ecuaciones algebraicas . ^[54] Por otro lado, la categoría Fukaya se construye utilizando geometría simpléctica , una rama de las matemáticas que surgió de los estudios de la física clásica . La geometría simpléctica estudia los espacios equipados con una forma simpléctica , una herramienta matemática que se puede utilizar para calcular el área en ejemplos bidimensionales. ^[17]

La conjetura homológica de simetría de espejo de Maxim Kontsevich establece que la categoría derivada de haces coherentes en una variedad Calabi-Yau es equivalente en cierto sentido a la categoría Fukaya de su espejo. ^[55] Esta equivalencia proporciona una formulación matemática precisa de la simetría especular en la teoría topológica de cuerdas. Además, proporciona un puente inesperado entre dos ramas de la geometría, a saber, la geometría compleja y simpléctica. ^[56]

Conjetura de Strominger – Yau – Zaslow

Artículo principal: conjetura de SYZ

Un toro puede verse como una unión de infinitos círculos, como el rojo de la imagen. Hay uno de esos círculos para cada punto del círculo rosa.

Andrew Strominger, Shing-Tung Yau y Eric Zaslow sugirieron otro enfoque para comprender la simetría especular en 1996. ^[20] Según su conjetura, ahora conocida como la conjetura SYZ, la simetría especular se puede entender dividiendo una variedad Calabi-Yau en piezas más simples y luego transformándolas para obtener el espejo Calabi – Yau. ^[57]

El ejemplo más simple de una variedad Calabi-Yau es una forma de toro o rosquilla bidimensional . ^[58] Considere un círculo en esta superficie que pasa una vez por el orificio de la rosquilla. Un ejemplo es el círculo rojo de la figura. Hay infinitos círculos como este en un toro; de hecho, toda la superficie es una unión de tales círculos. ^[59]

Se puede elegir un círculo auxiliar (el círculo rosa en la figura) de modo que cada uno de los infinitos círculos que descomponen el toro pase por un punto de . Se dice que este círculo auxiliar parametriza los círculos de la descomposición, lo que significa que hay una correspondencia entre ellos y los puntos de . Sin embargo, el círculo es más que una lista, porque también determina cómo estos círculos están dispuestos en el toro. Este espacio auxiliar juega un papel importante en la conjetura de SYZ. ^[53]${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Se puede generalizar la idea de dividir un toro en trozos parametrizados por un espacio auxiliar. Al aumentar la dimensión de dos a cuatro dimensiones reales, el Calabi-Yau se convierte en una superficie K3 . Así como el toro se descompuso en círculos, una superficie K3 de cuatro dimensiones se puede descomponer en toros bidimensionales. En este caso, el espacio es una esfera ordinaria . Cada punto de la esfera corresponde a uno de los toros bidimensionales, excepto por veinticuatro puntos "malos" que corresponden a toros "pellizcados" o singulares . ^[53]${\displaystyle B}$

Las variedades Calabi-Yau de interés principal en la teoría de cuerdas tienen seis dimensiones. Uno puede dividir tal variedad en 3-tori (objetos tridimensionales que generalizan la noción de un toro) parametrizados por una 3-esfera (una generalización tridimensional de una esfera). Cada punto de corresponde a un 3-toro, excepto por un número infinito de puntos "malos" que forman un patrón de segmentos en forma de cuadrícula en el Calabi-Yau y corresponden a toros singulares. ^[60]${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Una vez que la variedad Calabi-Yau se ha descompuesto en partes más simples, la simetría especular se puede entender de una manera geométrica intuitiva. Como ejemplo, considere el toro descrito anteriormente. Imagina que este toro representa el "espacio-tiempo" de una teoría física . Los objetos fundamentales de esta teoría serán cadenas que se propagarán a través del espacio-tiempo de acuerdo con las reglas de la mecánica cuántica . Una de las dualidades básicas de la teoría de cuerdas es la dualidad T, que establece que una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio es equivalente a una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio en el sentido de que todas las cantidades observables en una descripción se identifican con cantidades en la descripción dual. ^[61] Por ejemplo, una cadena tiene${\displaystyle R}$${\displaystyle 1/R}$impulso a medida que se propaga alrededor de un círculo, y también puede girar alrededor del círculo una o más veces. La cantidad de veces que la cuerda se enrolla alrededor de un círculo se llama número de enrollamiento . Si una cuerda tiene impulso y número de bobinado en una descripción, tendrá impulso y número de bobinado en la descripción dual. ^[61] Al aplicar T-dualidad simultáneamente a todos los círculos que descomponen el toro, los radios de estos círculos se invierten y uno se queda con un nuevo toro que es "más gordo" o "más delgado" que el original. Este toro es el espejo del Calabi-Yau original. ^[62]${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

La dualidad T puede extenderse desde los círculos hasta los toros bidimensionales que aparecen en la descomposición de una superficie K3 o los toros tridimensionales que aparecen en la descomposición de una variedad Calabi-Yau de seis dimensiones. En general, la conjetura SYZ establece que la simetría especular es equivalente a la aplicación simultánea de la dualidad T a estos toros. En cada caso, el espacio proporciona una especie de plano que describe cómo estos tori se ensamblan en una variedad Calabi-Yau. ^[63]${\displaystyle B}$

Ver también

• Teoría de Donaldson-Thomas
• Cruce de murallas

Notas

1. Para una introducción accesible a la teoría de cuerdas, consulte Greene 2000.
2. Wald 1984, p. 4
3. Zwiebach, 2009, p. 8
4. Yau y Nadis, 2010, Cap. 6
5. Esta analogía se utiliza, por ejemplo, en Greene 2000, p. 186
6. Yau y Nadis 2010, p. ix
7. Dixon 1988; Lerche, Vafa y Warner 1989
8. La forma de una variedad Calabi-Yau se describe matemáticamente usando una matriz de números llamados números de Hodge . Las matrices correspondientes a las variedades espejo Calabi-Yau son diferentes en general, reflejando las diferentes formas de las variedades, pero están relacionadas por una cierta simetría. Para obtener más información, consulte Yau y Nadis 2010, p. 160–3.
9. Aspinwall y col. 2009, pág. 13
10. Hori y col. 2003, pág. xvi
11. Otros dualidades que surgen en la teoría de cuerdas son S-dualidad , la dualidad T , y la correspondencia AdS / CFT .
12. Zaslow, 2008, p. 523
13. Yau y Nadis 2010, p. 168
14. Hori y Vafa 2000
15. Witten 1990
16. Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000
17. Zaslow, 2008, p. 531
18. Hori y col. 2003, pág. xix
19. Esto se observó por primera vez en Kikkawa y Yamasaki 1984 y Sakai y Senda 1986.
20. Strominger, Yau y Zaslow 1996
21. Candelas et al. 1985
22. Esto se observó en Dixon 1988 y Lerche, Vafa y Warner 1989.
23. Green y Plesser 1990; Yau y Nadis 2010, pág. 158
24. Candelas, Lynker y Schimmrigk 1990; Yau y Nadis 2010, pág. 163
25. Candelas et al. 1991
26. Yau y Nadis, 2010, p. 165
27. Yau y Nadis 2010, págs. 169-170
28. Yau y Nadis 2010, p. 170
29. Vafa 1992; Witten 1992
30. Hori y col. 2003, pág. xviii
31. Kontsevich 1995a
32. Kontsevich 1995b
33. Givental 1996, 1998
34. Lian, Liu, Yau 1997, 1999a, 1999b, 2000
35. Yau y Nadis, 2010, p. 172
36. Aspinwall y col. 2009, pág. vii
37. Zaslow, 2008, p. 537
38. Yau y Nadis, 2010, p. 166
39. Yau y Nadis 2010, p. 167
40. Yau y Nadis, 2010, p. 169
41. Yau y Nadis 2010, p. 171
42. Zaslow, 2008, págs. 533–4.
43. Zaslow 2008, sec. 10
44. Hori y col. 2003, pág. 677
45. Hori y col. 2003, pág. 679
46. Intriligator y Seiberg 1996
47. Moore, 2005, p. 214
48. Moore, 2005, p. 215
49. Aspinwall y col. 2009
50. Una referencia básica sobre la teoría de categorías es Mac Lane 1998.
51. Zaslow, 2008, p. 536
52. Aspinwal y col. 2009, pág. 575
53. Yau y Nadis, 2010, p. 175
54. Yau y Nadis 2010, págs. 180-1
55. Aspinwall y col. 2009, pág. 616
56. Yau y Nadis 2010, p. 181
57. Yau y Nadis 2010, p. 174
58. Zaslow, 2008, p. 533
59. Yau y Nadis 2010, p. 175–6
60. Yau y Nadis 2010, págs. 175–7.
61. Zaslow, 2008, p. 532
62. Yau y Nadis 2010, p. 178
63. Yau y Nadis 2010, p. 178–9

Referencias

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, eds. (2009). Branes de Dirichlet y simetría especular . Monografías de Clay Mathematics . 4 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parkes, Linda (1991). "Un par de variedades Calabi-Yau como una teoría de campo superconformal exactamente soluble". Física B nuclear . 359 (1): 21–74. Código Bibliográfico : 1991NuPhB.359 ... 21C . doi : 10.1016 / 0550-3213 (91) 90292-6 .
• Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1985). "Configuraciones de vacío para supercuerdas". Física B nuclear . 258 : 46–74. Código Bibliográfico : 1985NuPhB.258 ... 46C . doi : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90602-9 .
• Candelas, Philip; Lynker, Monika; Schimmrigk, Rolf (1990). "Colectores Calabi – Yau ponderados ". Física B nuclear . 341 (1): 383–402. Código Bibliográfico : 1990NuPhB.341..383C . doi : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90185-G .${\displaystyle \mathbb {P} _{4}}$
• Dixon, Lance (1988). "Algunas propiedades de la hoja del mundo de las compactaciones de supercuerdas, en orbifolds y otros". ICTP Ser. Theoret. Phys . 4 : 67-126. ISBN 978-9971-5-0452-6.
• Givental, Alexander (1996). "Invariantes equivariantes de Gromov-Witten". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 1996 (13): 613–663. doi : 10.1155 / S1073792896000414 .
• Givental, Alexander (1998). "Un teorema de espejo para intersecciones tóricas completas". Teoría de campos topológicos, formas primitivas y temas relacionados : 141-175. arXiv : alg-geom / 9701016 . doi : 10.1007 / 978-1-4612-0705-4_5 . ISBN 978-1-4612-6874-1.
• Greene, Brian (2000). El universo elegante: supercuerdas, dimensiones ocultas y la búsqueda de la teoría definitiva . Casa al azar. ISBN 978-0-9650888-0-0.
• Greene, Brian; Plesser, Ronen (1990). "Dualidad en el espacio de los módulos Calabi-Yau". Física B nuclear . 338 (1): 15–37. Código Bibliográfico : 1990NuPhB.338 ... 15G . doi : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90622-K .
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, eds. (2003). Simetría de espejo (PDF) . Monografías de Clay Mathematics . 1 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2955-6. Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2006.
• Hori, Kentaro; Vafa, Cumrun (2000). "Simetría de espejo". arXiv : hep-th / 0002222 .
• Intriligador, Kenneth; Seiberg, Nathan (1996). "Simetría de espejo en teorías de gauge tridimensionales". Physics Letters B . 387 (3): 513–519. arXiv : hep-th / 9607207 . Código bibliográfico : 1996PhLB..387..513I . doi : 10.1016 / 0370-2693 (96) 01088-X .
• Kikkawa, Keiji; Yamasaki, Masami (1984). "Efectos de Casimir en teorías de supercuerdas". Physics Letters B . 149 (4): 357–360. Código Bibliográfico : 1984PhLB..149..357K . doi : 10.1016 / 0370-2693 (84) 90423-4 .
• Kontsevich, Maxim (1995a), "Enumeración de curvas racionales a través de acciones de toro", El espacio modular de curvas , Birkhäuser, p. 335, arXiv : hep-th / 9405035 , doi : 10.1007 / 978-1-4612-4264-2_12 , ISBN 978-1-4612-8714-8
• Kontsevich, Maxim (1995b). "Álgebra homológica de simetría especular". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos : 120-139. arXiv : alg-geom / 9411018 . Código bibliográfico : 1994alg.geom.11018K .
• Lerche, Wolfgang; Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas (1989). "Anillos quirales en teorías superconformales" norte = 2 {\ Displaystyle {\ mathcal {N}} = 2} (PDF) . Física B nuclear . 324 (2): 427–474. Código Bibliográfico : 1989NuPhB.324..427L . doi : 10.1016 / 0550-3213 (89) 90474-4 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1997). "Principio espejo, yo". Revista asiática de matemáticas . 1 (4): 729–763. arXiv : alg-geom / 9712011 . Código bibliográfico : 1997alg.geom.12011L . doi : 10.4310 / ajm.1997.v1.n4.a5 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999a). "Principio del espejo, II". Revista asiática de matemáticas . 3 : 109-146. arXiv : matemáticas / 9905006 . Bibcode : 1999math ...... 5006L . doi : 10.4310 / ajm.1999.v3.n1.a6 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999b). "Principio del espejo, III". Revista asiática de matemáticas . 3 (4): 771–800. arXiv : matemáticas / 9912038 . Bibcode : 1999math ..... 12038L . doi : 10.4310 / ajm.1999.v3.n4.a4 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (2000). "Principio del espejo, IV". Levantamientos en Geometría Diferencial . 7 : 475–496. arXiv : matemáticas / 0007104 . Bibcode : 2000math ...... 7104L . doi : 10.4310 / sdg.2002.v7.n1.a15 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . ISBN 978-0-387-98403-2.
• Moore, Gregory (2005). "¿Qué es ... una Brane?" (PDF) . Avisos del AMS . 52 : 214 . Consultado el 6 de agosto de 2016 .
• Sakai, Norisuke; Senda, Ikuo (1986). "Energías de vacío de cuerda compactadas en toro" . Progreso de la Física Teórica . 75 (3): 692–705. Código Bibliográfico : 1986PThPh..75..692S . doi : 10.1143 / PTP.75.692 .
• Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). "La simetría de espejo es T-dualidad". Física B nuclear . 479 (1): 243-259. arXiv : hep-th / 9606040 . Código Bibliográfico : 1996NuPhB.479..243S . doi : 10.1016 / 0550-3213 (96) 00434-8 .
• Vafa, Cumrun (1992). "Espejos topológicos y anillos cuánticos". Ensayos sobre colectores de espejos : 96-119. arXiv : hep-th / 9111017 . Código de Bibliografía : 1991hep.th ... 11017V . ISBN 978-962-7670-01-8.
• Wald, Robert (1984). Relatividad general . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-87033-5.
• Witten, Edward (1990). "Sobre la estructura de la fase topológica de la gravedad bidimensional". Física B nuclear . 340 (2-3): 281-332. Código Bibliográfico : 1990NuPhB.340..281W . doi : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90449-N .
• Witten, Edward (1992). "Espejo de variedades y teoría de campos topológicos". Ensayos sobre colectores de espejos : 121–160. ISBN 978-962-7670-01-8.
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). La forma del espacio interior: teoría de cuerdas y geometría de las dimensiones ocultas del universo . Libros básicos. ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2008). "Simetría de espejo". En Gowers, Timothy (ed.). El compañero de Princeton a las matemáticas . ISBN 978-0-691-11880-2.
• Zwiebach, Barton (2009). Un primer curso de teoría de cuerdas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-88032-9.

Lectura adicional

Popularizaciones

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). La forma del espacio interior: teoría de cuerdas y geometría de las dimensiones ocultas del universo . Libros básicos. ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2005). "Física". arXiv : física / 0506153 .
• Zaslow, Eric (2008). "Simetría de espejo". En Gowers, Timothy (ed.). El compañero de Princeton a las matemáticas . ISBN 978-0-691-11880-2.

Libros de texto

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, eds. (2009). Branes de Dirichlet y simetría especular . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Cox, David; Katz, Sheldon (1999). Simetría especular y geometría algebraica . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-2127-5.
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, eds. (2003). Simetría de espejo (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2955-6. Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2006.