En matemáticas , la geometría tropical es el estudio de polinomios y sus propiedades geométricas cuando la suma se reemplaza por la minimización y la multiplicación se reemplaza por la suma ordinaria:
Entonces, por ejemplo, el polinomio clásico se convertiría . Tales polinomios y sus soluciones tienen aplicaciones importantes en problemas de optimización, por ejemplo, el problema de optimizar los tiempos de salida de una red de trenes.
La geometría tropical es una variante de la geometría algebraica en la que los gráficos polinomiales se asemejan a mallas lineales por partes y en la que los números pertenecen al semirrígido tropical en lugar de a un campo. Debido a que la geometría clásica y tropical están estrechamente relacionadas, los resultados y los métodos se pueden convertir entre ellos. Las variedades algebraicas se pueden asignar a una contraparte tropical y, dado que este proceso aún conserva cierta información geométrica sobre la variedad original, se puede usar para ayudar a probar y generalizar los resultados clásicos de la geometría algebraica, como el teorema de Brill-Noether , usando las herramientas de geometría tropical. [1]
Historia
Las ideas básicas del análisis tropical han sido desarrolladas independientemente en las mismas notaciones por matemáticos que trabajan en varios campos. [2] Las ideas principales de la geometría tropical habían aparecido en diferentes formas en las obras anteriores. Por ejemplo, Victor Pavlovich Maslov introdujo una versión tropical del proceso de integración. También notó que la transformación de Legendre y las soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi son operaciones lineales en el sentido tropical. [3] Sin embargo, solo desde finales de la década de 1990 se ha hecho un esfuerzo por consolidar las definiciones básicas de la teoría. Esto ha sido motivado por las aplicaciones a la geometría algebraica enumerativa , con ideas de Maxim Kontsevich [4] y trabajos de Grigory Mikhalkin [5] entre otros.
El adjetivo tropical en el nombre del área fue acuñado por matemáticos franceses en honor al científico informático brasileño de origen húngaro Imre Simon , quien escribió sobre el terreno. Jean-Éric Pin atribuye la acuñación a Dominique Perrin , [6] mientras que el propio Simon atribuye la palabra a Christian Choffrut. [7]
Fondo de álgebra
La geometría tropical se basa en el semirrígido tropical . Esto se define de dos formas, dependiendo de la convención máxima o mínima.
El semiring tropical min es el semiring , con las operaciones:
Las operaciones y se denominan adición tropical y multiplicación tropical, respectivamente. El elemento de identidad para es , y el elemento de identidad para es 0.
De manera similar, el semiring tropical máximo es el semiring, con operaciones:
El elemento neutral para es , y el elemento neutro para es 0.
Estos semirríos son isomorfos, bajo negación. , y generalmente uno de estos se elige y se denomina simplemente semirrígido tropical . Las convenciones difieren entre autores y subcampos: algunos usan la convención mínima , algunos usan la convención máxima .
Las operaciones de semiring tropical modelan cómo se comportan las valoraciones bajo suma y multiplicación en un campo valorado .
Algunos campos valorados comunes que se encuentran en geometría tropical (con convención mínima) son:
- o con la tasación trivial, para todos .
- o sus ampliaciones con la valoración p-adic ,para una y b primos entre sí a p .
- El campo de la serie Laurent (potencias enteras), o el campo de la serie Puiseux (compleja) , y la valoración devuelve el exponente más pequeño de t que aparece en la serie.
Polinomios tropicales
Un polinomio tropical es una funciónque se puede expresar como la suma tropical de un número finito de términos monomiales . Un término monomial es un producto tropical (y / o cociente) de una constante y variables de. Por tanto, un polinomio tropical F es el mínimo de una colección finita de funciones lineales afines en las que las variables tienen coeficientes enteros, por lo que es cóncavo , continuo y lineal por partes . [8]
Dado un polinomio f en el anillo polinomial de Laurent donde K es un campo valorado, la tropicalización de f , denotada, es el polinomio tropical obtenido de f al reemplazar la multiplicación y la suma por sus contrapartes tropicales y cada constante en K por su valoración. Es decir, si
luego
El conjunto de puntos donde un polinomio tropical F no es diferenciable se llama su hipersuperficie tropical asociada , denotada(en analogía con el conjunto de desaparición de un polinomio). Equivalentemente,es el conjunto de puntos donde el mínimo entre los términos de F se alcanza al menos dos veces. Cuándopara un polinomio de Laurent f , esta última caracterización de refleja el hecho de que en cualquier solución para , la valoración mínima de los términos de f debe lograrse al menos dos veces para que todos se cancelen. [9]
Variedades tropicales
Definiciones
Para X una variedad algebraica en el toro algebraico , la variedad tropical de X o tropicalización de X , denotada, es un subconjunto de que se puede definir de varias formas. La equivalencia de estas definiciones se conoce como el Teorema fundamental de la geometría tropical . [9]
Intersección de hipersuperficies tropicales
Dejar ser el ideal de los polinomios de Laurent que se desvanecen en X en. Definir
Cuando X es una hipersuperficie, su ideal que se desvanecees un ideal principal generado por un polinomio de Laurent f , y la variedad tropical es precisamente la hipersuperficie tropical .
Cada variedad tropical es la intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales. Un conjunto finito de polinomios.se llama base tropical para X si es la intersección de las hipersuperficies tropicales de . En general, un grupo electrógeno deno es suficiente para formar una base tropical. La intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales se denomina prevariedad tropical y, en general, no es una variedad tropical. [9]
Ideales iniciales
Elegir un vector en define un mapa a partir de los términos monomiales de a enviando el término m a. Para un polinomio de Laurent, define la forma inicial de f como la suma de los términosde f para el cuales mínimo. Por el ideal, define su ideal inicial con respecto a ser - estar
Entonces define
Dado que estamos trabajando en el anillo de Laurent, este es el mismo que el conjunto de vectores de peso para los que no contiene un monomio.
Cuando K tiene una valoración trivial, es precisamente el ideal inicial de con respecto al orden monomial dado por un vector de peso. Resulta quees un subfan de Gröbner fan de.
Imagen del mapa de valoración
Suponga que X es una variedad sobre un campo K con valoración v cuya imagen es densa en(por ejemplo, un campo de la serie Puiseux). Al actuar en coordenadas, v define un mapa a partir del toro algebraico a . Entonces define
donde la línea superior indica el cierre en la topología euclidiana . Si la valoración de K no es densa en, entonces la definición anterior se puede adaptar extendiendo los escalares a un campo más grande que tiene una valoración densa.
Esta definición muestra que es la ameba no arquimediana sobre un campo K no arquimediano algebraicamente cerrado . [10]
Si X es una variedad sobre, puede considerarse como el objeto limitante de la ameba ya que la base t del mapa de logaritmos llega al infinito. [11]
Complejo poliédrico
La siguiente caracterización describe variedades tropicales intrínsecamente sin referencia a variedades algebraicas y tropicalización. Un conjunto V enes una variedad tropical irreducible si es el soporte de un complejo poliédrico ponderado de dimensión pura d que satisface la condición de tensión cero y está conectado en codimensión uno. Cuando d es uno, la condición de tensión cero significa que alrededor de cada vértice, la suma ponderada de las direcciones de salida de los bordes es igual a cero. Para una dimensión más alta, las sumas se toman alrededor de cada celda de dimensión.después de cociente del intervalo afín de la célula. [8] La propiedad de que V está conectado en la codimensión uno significa que para dos puntos cualesquiera que se encuentran en celdas de dimensión d , hay una ruta que los conecta que no pasa a través de ninguna celda de dimensión menor que. [12]
Curvas tropicales
El estudio de las curvas tropicales (variedades tropicales de dimensión uno) está particularmente bien desarrollado y está fuertemente relacionado con la teoría de grafos . Por ejemplo, la teoría de los divisores de curvas tropicales está relacionada con juegos de disparar fichas en gráficos asociados a las curvas tropicales. [13]
Muchos teoremas clásicos de geometría algebraica tienen contrapartes en geometría tropical, que incluyen:
- Teorema del hexágono de Pappus . [14]
- Teorema de Bézout .
- La fórmula de grado-género .
- El teorema de Riemann-Roch . [15]
- La ley de grupo de las cúbicas . [dieciséis]
Oleg Viro utilizó curvas tropicales para clasificar las curvas reales de grado 7 en el plano hasta la isotopía . Su método de mosaico proporciona un procedimiento para construir una curva real de una clase de isotopía dada a partir de su curva tropical.
Aplicaciones
Una línea tropical apareció en el diseño de subastas de Paul Klemperer utilizado por el Banco de Inglaterra durante la crisis financiera en 2007. [17] Yoshinori Shiozawa definió el álgebra subtropical como tiempos máximos o tiempos mínimos semirrígidos (en lugar de máximos y mínimos). -más). Encontró que la teoría del comercio ricardiano (comercio internacional sin comercio de insumos) se puede interpretar como álgebra convexa subtropical. [18]
Además, varios problemas de optimización que surgen, por ejemplo, en la programación de trabajos, análisis de ubicación, redes de transporte, toma de decisiones y sistemas dinámicos de eventos discretos pueden formularse y resolverse en el marco de la geometría tropical. [19] Se puede aplicar una contraparte tropical del mapa de Abel-Jacobi a un diseño de cristal. [20] Los pesos en un transductor de estado finito ponderado a menudo se requieren para ser un semirecolado tropical. La geometría tropical puede mostrar una criticidad autoorganizada . [21]
Ver también
- Análisis tropical
- Compactificación tropical
Notas
- ^ Hartnett, Kevin. "Los modelos de Tinkertoy producen nuevas percepciones geométricas" . Revista Quanta . Consultado el 12 de diciembre de 2018 .
- ^ Ver Cuninghame-Green, Raymond A. (1979). Álgebra minimax . Apuntes de clases en Economía y Ciencias Matemáticas . 166 . Saltador. ISBN 978-3-540-09113-4 y referencias en el mismo.
- ^ Maslov, Victor (1987). "Sobre un nuevo principio de superposición para problemas de optimización". Encuestas matemáticas rusas . 42: 3 (3): 43–54. Código Bibliográfico : 1987RuMaS..42 ... 43M . doi : 10.1070 / RM1987v042n03ABEH001439 .
- ^ Kontsevich, Maxim ; Soibelman, Yan (7 de noviembre de 2000). "Simetría especular homológica y fibraciones toroidales". arXiv : matemáticas / 0011041 .
- ^ Mikhalkin, Grigory (2005). "Geometría algebraica tropical enumerativa en R 2 " (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 18 (2): 313–377. arXiv : matemáticas / 0312530 . doi : 10.1090 / S0894-0347-05-00477-7 .
- ^ Pin, Jean-Eric (1998). "Semirings tropicales" (PDF) . En Gunawardena, J. (ed.). Idempotencia . Publicaciones del Newton Institute. 11 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 50–69. doi : 10.1017 / CBO9780511662508.004 . ISBN 9780511662508.
- ^ Simon, Imre (1988). "Conjuntos reconocibles con multiplicidades en el semirrígido tropical". Fundamentos matemáticos de la informática 1988 . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación . 324 . págs. 107–120. doi : 10.1007 / BFb0017135 . ISBN 978-3-540-50110-7.
- ^ a b Speyer, David; Sturmfels, Bernd (2009), "Matemáticas tropicales" (PDF) , Revista de matemáticas , 82 (3): 163-173, doi : 10.1080 / 0025570X.2009.11953615
- ^ a b c Maclagan, Diane ; Sturmfels, Bernd (2015). Introducción a la geometría tropical . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 9780821851982.
- ^ Mikhalkin, Grigory (2004). "Amebas de variedades algebraicas y geometría tropical". En Donaldson, Simon ; Eliashberg, Yakov ; Gromov, Mikhael (eds.). Diferentes caras de la geometría . Serie Matemática Internacional. 3 . Nueva York, NY: Kluwer Academic / Plenum Publishers. págs. 257–300. ISBN 978-0-306-48657-9. Zbl 1072.14013 .
- ^ Katz, Eric (2017), "¿Qué es la geometría tropical?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 64 (4): 380–382, doi : 10.1090 / noti1507
- ^ Cartwright, Dustin; Payne, Sam (2012), "Connectivity of tropicalizations", Mathematical Research Letters , 19 (5): 1089–1095, arXiv : 1204.6589 , Bibcode : 2012arXiv1204.6589C , doi : 10.4310 / MRL.2012.v19.n5.a10
- ^ Hladký, Jan; Králʼ, Daniel; Norine, Serguei (1 de septiembre de 2013). "Rango de divisores en curvas tropicales". Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 120 (7): 1521-1538. arXiv : 0709.4485 . doi : 10.1016 / j.jcta.2013.05.002 . ISSN 0097-3165 .
- ^ Tabera, Luis Felipe (1 de enero de 2005). "Teorema de Pappus constructivo tropical". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2005 (39): 2373–2389. arXiv : matemáticas / 0409126 . doi : 10.1155 / IMRN.2005.2373 . ISSN 1073-7928 .
- ^ Kerber, Michael; Gathmann, Andreas (1 de mayo de 2008). "Un teorema de Riemann-Roch en geometría tropical". Mathematische Zeitschrift . 259 (1): 217–230. arXiv : matemáticas / 0612129 . doi : 10.1007 / s00209-007-0222-4 . ISSN 1432-1823 .
- ^ Chan, Melody ; Sturmfels, Bernd (2013). "Curvas elípticas en forma de panal". En Brugallé, Erwan (ed.). Aspectos algebraicos y combinatorios de la geometría tropical. Actas basadas en el taller del CIEM sobre geometría tropical, Centro Internacional de Reuniones Matemáticas (CIEM), Castro Urdiales, España, 12 al 16 de diciembre de 2011 . Matemáticas contemporáneas. 589 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 87-107. arXiv : 1203.2356 . Código bibliográfico : 2012arXiv1203.2356C . ISBN 978-0-8218-9146-9. Zbl 1312.14142 .
- ^ "Cómo la geometría vino al rescate durante la crisis bancaria" . Departamento de Economía, Universidad de Oxford . Consultado el 24 de marzo de 2014 .
- ^ Shiozawa, Yoshinori (2015). "Teoría del comercio internacional y álgebras exóticas" . Revista de Economía Evolutiva e Institucional . 12 : 177–212. doi : 10.1007 / s40844-015-0012-3 .Este es un resumen del documento preliminar de Y. Shiozawa, " La geometría convexa subtropical como la teoría ricardiana del comercio internacional ".
- ^ Krivulin, Nikolai (2014). "Problemas de optimización tropical". En Leon A. Petrosyan; David WK Yeung; Joseph V. Romanovsky (eds.). Avances en economía y optimización: estudios científicos recopilados dedicados a la memoria de LV Kantorovich . Nueva York: Nova Science Publishers. págs. 195-214. arXiv : 1408.0313 . ISBN 978-1-63117-073-7.
- ^ Sunada, T. (2012). Cristalografía topológica: con miras al análisis geométrico discreto . Encuestas y Tutorías en las Ciencias Matemáticas Aplicadas. 6 . Springer Japón. ISBN 9784431541769.
- ^ Kalinin, N .; Guzmán-Sáenz, A .; Prieto, Y .; Shkolnikov, M .; Kalinina, V .; Lupercio, E. (15 de agosto de 2018). "Criticidad autoorganizada y aparición de patrones a través de la lente de la geometría tropical" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 115 (35): E8135 – E8142. arXiv : 1806.09153 . Código bibliográfico : 2018arXiv180609153K . doi : 10.1073 / pnas.1805847115 . ISSN 0027-8424 . PMC 6126730 . PMID 30111541 .
Referencias
- Maslov, Victor (1986). "Nuevo principio de superposición para problemas de optimización", Séminaire sur les Équations aux Dérivées Partielles 1985/6, Centre de Mathématiques de l'École Polytechnique, Palaiseau, exposé 24.
- Maslov, Victor (1987). "Méthodes Opératorielles". Moscou, Mir, 707 p. (Véase el capítulo 8, Théorie linéaire sur semi moduli, págs. 652–701).
- Bogart, Tristram; Jensen, Anders; Speyer, David; Sturmfels, Bernd ; Thomas, Rekha (2005). "Computación de variedades tropicales". Revista de Computación Simbólica . 42 (1–2): 54–73. arXiv : matemáticas / 0507563 . Bibcode : 2005math ...... 7563B . doi : 10.1016 / j.jsc.2006.02.004 .
- Einsiedler, Manfred; Kapranov, Mikhail; Lind, Douglas (2006). "Amebas no arquimedianas y variedades tropicales". J. Reine Angew. Matemáticas . 601 : 139-157. arXiv : matemáticas / 0408311 . Bibcode : 2004math ...... 8311E .
- Gathmann, Andreas (2006). "Geometría algebraica tropical". arXiv : matemáticas / 0601322v1 .
- Gross, Mark (2010). Geometría tropical y simetría especular . Providence, RI: Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences por la American Mathematical Society con el apoyo de la National Science Foundation. ISBN 9780821852323.
- Itenberg, Illia; Grigory Mikhalkin; Eugenii Shustin (2009). Geometría algebraica tropical (2ª ed.). Basilea: Birkhäuser Basel. ISBN 9783034600484. Zbl 1165.14002 .
- Maclagan, Diane; Sturmfels, Bernd (2015). Introducción a la geometría tropical . American Mathematical Soc. ISBN 9780821851982.
- Mikhalkin, Grigory (2006). "Geometría tropical y sus aplicaciones". arXiv : matemáticas / 0601041v2 .
- Mikhalkin, Grigory (2004). "Geometría algebraica tropical enumerativa en R2". arXiv : matemáticas / 0312530v4 .
- Mikhalkin, Grigory (2004). "Amebas de variedades algebraicas y geometría tropical". arXiv : matemáticas / 0403015v1 .
- Pachter, Lior ; Sturmfels, Bernd (2004). "Geometría tropical de modelos estadísticos" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 101 (46): 16132–16137. arXiv : q-bio / 0311009 . Código bibliográfico : 2004PNAS..10116132P . doi : 10.1073 / pnas.0406010101 . PMC 528960 . PMID 15534224 . Zbl 1135.62302 .
- Speyer, David E. (2003). "El Grassmanniano Tropical". arXiv : matemáticas / 0304218v3 .
- Speyer, David; Sturmfels, Bernd (2009) [2004]. "Matemáticas tropicales". Revista de Matemáticas . 82 (3): 163-173. arXiv : matemáticas / 0408099 . doi : 10.4169 / 193009809x468760 . Zbl 1227.14051 .
- Theobald, Thorsten (2003). "Primeros pasos en geometría tropical". arXiv : matemáticas / 0306366v2 .
Otras lecturas
- Amini, Omid; Baker, Matthew; Faber, Xander, eds. (2013). Geometría tropical y no arquimediana. Taller de Bellairs sobre teoría de números, geometría tropical y no arquimediana, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, EE. UU., Del 6 al 13 de mayo de 2011 . Matemáticas contemporáneas. 605 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002 .
enlaces externos
- Geometría tropical, I