En matemáticas, una secuencia de números enteros positivos de un n se llama una secuencia de irracionalidad si tiene la propiedad de que para cada secuencia x n de números enteros positivos, la suma de la serie
existe (es decir, converge ) y es un número irracional . [1] [2] El problema de caracterizar las secuencias de irracionalidad fue planteado por Paul Erdős y Ernst G. Straus , quienes originalmente llamaron a la propiedad de ser una secuencia de irracionalidad "Propiedad P". [3]
Ejemplos de
Las potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos ,, forman una secuencia de irracionalidad. Sin embargo, aunque la secuencia de Sylvester
- 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, ...
(en el que cada término es uno más que el producto de todos los términos anteriores) también crece doblemente exponencialmente , no forma una secuencia de irracionalidad. Por dejar para todos da
una serie que converge a un número racional . Asimismo, los factoriales ,, no forman una secuencia de irracionalidad porque la secuencia dada por para todos conduce a una serie con una suma racional,
Tasa de crecimiento
Para cualquier secuencia de un n sea una secuencia de irracionalidad, debe crecer a una velocidad tal que
- . [4]
Esto incluye secuencias que crecen a una tasa más del doble exponencial, así como algunas secuencias doblemente exponenciales que crecen más rápidamente que las potencias de las potencias de dos. [1]
Cada secuencia de irracionalidad debe crecer lo suficientemente rápido como para
Sin embargo, no se sabe si existe tal secuencia en la que el máximo común divisor de cada par de términos es 1 (a diferencia de las potencias de las potencias de dos) y para la cual
Propiedades relacionadas
De manera análoga a las secuencias de irracionalidad, Hančl (1996) ha definido una secuencia trascendental como una secuencia entera a n tal que, para cada secuencia x n de enteros positivos, la suma de la serie
existe y es un número trascendental . [6]
Referencias
- ^ a b c Guy, Richard K. (2004), "Secuencias de irracionalidad E24", Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.), Springer-Verlag , p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001.
- ^ Erdős, P .; Graham, RL (1980), Viejos y nuevos problemas y resultados en la teoría combinatoria de números , Monografías de L'Enseignement Mathématique, 28 , Ginebra: Université de Genève L'Enseignement Mathématique, p. 128, MR 0592420.
- ^ Erdős, P. (1975), "Algunos problemas y resultados sobre la irracionalidad de la suma de series infinitas" (PDF) , Journal of Mathematical Sciences , 10 : 1-7 (1976), MR 0539489.
- ^ Hanˇcl, Jaroslav (1991). "Expresión de números reales con la ayuda de series infinitas". Acta Arithmetica . Volumen 59: 97-104.
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tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Erdős, P. (1988), "Sobre la irracionalidad de ciertas series: problemas y resultados", Nuevos avances en la teoría de la trascendencia (Durham, 1986) (PDF) , Cambridge: Cambridge Univ. Prensa, págs. 102-109, MR 0971997.
- ^ Hančl, Jaroslav (1996), "Secuencias trascendentales", Mathematica Slovaca , 46 (2-3): 177-179, MR 1427003.